小波稀疏化

%%  本程序实现小波在矩阵方程求解中的应用

clear all;
clc;

%%  构造小波矩阵
[h,g]= wfilters('db7','d');         %  分解低通和高通滤波器
N=512;                              %  矩阵维数(大小为2的整数幂次)
L=length(h);                        %  滤波器长度
rank_max=log2(N);                   %  最大层数
rank_min=double(int8(log2(L)))+1;   %  最小层数
ww=1;                               %  预处理矩阵

%%  矩阵构造
for jj=rank_min:rank_max
   
    nn=2^jj;
   
    %  构造向量
    p1_0=sparse([h,zeros(1,nn-L)]);
    p2_0=sparse([g,zeros(1,nn-L)]);
   
    %  向量圆周移位
    for ii=1:nn/2
        p1(ii,:)=circshift(p1_0',2*(ii-1))';
        p2(ii,:)=circshift(p2_0',2*(ii-1))';
    end
   
    %  构造正交矩阵
    w1=[p1;p2];
    mm=2^rank_max-length(w1);
    w=sparse([w1,zeros(length(w1),mm);zeros(mm,length(w1)),eye(mm,mm)]);
    ww=ww*w;
   
    clear p1;clear p2;
end

norm(eye(N,N)-ww*ww.');
norm(eye(N,N)-ww.'*ww);
figure(1);
spy(ww);
title('小波预处理矩阵非零元素图');

%% 构造测试矩阵
for i=1:N;
    for j=1:N;
        z(i,j)=1/(abs(i-j)+1);
    end
end

v=eye(N,1);
result=z\v;
 
%%  小波变换(稀疏矩阵乘法)
z_t=ww*sparse(z)*ww.';
v_t=ww*sparse(v);
 
%%  稀疏化矩阵
threshold=3*10^(-3);
z_t=z_t.*sparse(abs(z_t)>(threshold*norm(abs(z_t),1)));  %  大于阈值的元素保留,否则置零
 
%%  求解小波域矩阵方程
j_t=z_t\v_t;
 
%%  反小波变换
result_app=ww.'*j_t;
 
%%  相对误差
norm(result_app-result)/norm(result);

%%  稀疏度图
figure(2);
spy(z_t);
title('矩阵经小波变换稀疏化图')