矩阵求逆的快速算法

算法介绍

矩阵求逆在3D程序中很常见，主要应用于求Billboard矩阵。按照定义的计算方法乘法运算，严重影响了性能。在需要大量Billboard矩阵运算时，矩阵求逆的优化能极大提高性能。这里要介绍的矩阵求逆算法称为全选主元高斯-约旦法。

高斯-约旦法（全选主元）求逆的步骤如下：

首先，对于 k 从 0 到 n - 1 作如下几步：

1. 从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。这一步称为全选主元。
2. m(k, k) = 1 / m(k, k)
3. m(k, j) = m(k, j) * m(k, k)，j = 0, 1, ..., n-1；j != k
4. m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j)，i, j = 0, 1, ..., n-1；i, j != k
5. m(i, k) = -m(i, k) * m(k, k)，i = 0, 1, ..., n-1；i != k

最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。

实现(4阶矩阵)

float Inverse(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& rhs)
{
	CLAYMATRIX m(rhs);
	DWORD is[4];
	DWORD js[4];
	float fDet = 1.0f;
	int f = 1;

	for (int k = 0; k < 4; k ++)
	{
		// 第一步，全选主元
		float fMax = 0.0f;
		for (DWORD i = k; i < 4; i ++)
		{
			for (DWORD j = k; j < 4; j ++)
			{
				const float f = Abs(m(i, j));
				if (f > fMax)
				{
					fMax	= f;
					is[k]	= i;
					js[k]	= j;
				}
			}
		}
		if (Abs(fMax) < 0.0001f)
			return 0;
		
		if (is[k] != k)
		{
			f = -f;
			swap(m(k, 0), m(is[k], 0));
			swap(m(k, 1), m(is[k], 1));
			swap(m(k, 2), m(is[k], 2));
			swap(m(k, 3), m(is[k], 3));
		}
		if (js[k] != k)
		{
			f = -f;
			swap(m(0, k), m(0, js[k]));
			swap(m(1, k), m(1, js[k]));
			swap(m(2, k), m(2, js[k]));
			swap(m(3, k), m(3, js[k]));
		}

		// 计算行列值
		fDet *= m(k, k);

		// 计算逆矩阵

		// 第二步
		m(k, k) = 1.0f / m(k, k);	
		// 第三步
		for (DWORD j = 0; j < 4; j ++)
		{
			if (j != k)
				m(k, j) *= m(k, k);
		}
		// 第四步
		for (DWORD i = 0; i < 4; i ++)
		{
			if (i != k)
			{
				for	(j = 0; j < 4; j ++)
				{
					if (j != k)
						m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j);
				}
			}
		}
		// 第五步
		for (i = 0; i < 4; i ++)
		{
			if (i != k)
				m(i, k) *= -m(k, k);
		}
	}

	for	(k = 3; k >= 0; k --)
	{
		if (js[k] != k)
		{
			swap(m(k, 0), m(js[k], 0));
			swap(m(k, 1), m(js[k], 1));
			swap(m(k, 2), m(js[k], 2));
			swap(m(k, 3), m(js[k], 3));
		}
		if (is[k] != k)
		{
			swap(m(0, k), m(0, is[k]));
			swap(m(1, k), m(1, is[k]));
			swap(m(2, k), m(2, is[k]));
			swap(m(3, k), m(3, is[k]));
		}
	}

	mOut = m;
	return fDet * f;
}

比较

	原算法	原算法(经过高度优化)	新算法
加法次数	103	61	39
乘法次数	170	116	69
需要额外空间	16 * sizeof(float)	34 * sizeof(float)	25 * sizeof(float)

结果不言而喻吧。