关于数论中欧拉函数和欧拉定理的简短证明
一.欧拉函数的证明
1) p^k的欧拉函数
对于给定的一个素数p，我们知道φ(p) = p-1。
假设一个整数n是p的k次幂，也就是 n = p^k，k∈N+
容易证明 φ(n) = p^k - p^(k-1)
证明： 已知少于小于p^k的正整数个数为p^k-1个，其中
和p^k不互质的正整数有{p×1,p×2,...,p×(p^(k-1)-1)}共计p^(k-1)-1个
所以φ(n) = p^k -1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1)
2) pq的欧拉函数
假设p,q是两个互质的正整数，则pq的欧拉函数为
φ(pq) = φ(p)φ(q)，gcd(p,q)=1
证明：
∵M= pq, gcd(p,q) =1
∴根据中国余数定理，有 Zm和Zp×Zq之间存在一一映射
所以M的完全余数集中元素的个数等于集合Zp×Zq元素的个数
而后者的元素个数为φ(p)φ(q)，所以有 φ(pq) = φ(p)φ(q)
3) 任意正整数的欧拉函数
φ(n)=n∏(1-1/p)，其中p为能够被n整除的质数
二.欧拉定理的证明
对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明：
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x_1,x_2,...,x_φ(n)}，考虑集合
S = {ax_1 mod n,ax_2mod n,...,ax_φ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，x_i也与n互质，则ax_i也一定于n互质，因此
任意x_i，ax_i mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素x_i和x_j，如果x_i ≠ x_j
则ax_i mod n ≠ ax_j mod n，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（ax_1 × ax_2×...×ax_φ(n)）mod n
= （ax_1 mod n × ax_2 mod n × ... × ax_φ(n) mod n）mod n
= （x_1 × x_2 × ... × x_φ(n)）mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a^φ(n) × （x_1 × x_2 × ... × x_φ(n)）mod n) mod n
右边等于x_1 × x_2 × ... × x_φ(n)）mod n
而x_1 × x_2 × ... × x_φ(n)）mod n和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)