【JSOI 2013】密码

题目大意

对于一个 m 位的十进制整数 x=(a0a1a2...am−1)10 ，定义

g(x)=∑m−1i=0ai

定义集合

Sn={x|0<g(x)≤n}

给出 n ，求下面这个式子

∑x∈Sn∑y∈Sn,x<yxy

n≤1018

分析

一开始看这题的时候不小心把 g(x) 里的 ∑ 看成了 ∏ 。囧

剩下的就是数位DP了。
记 cntx 表示数位和为 x 的数的个数， linearx 表示数位和为 x 的所有数的总和， squarex 表示数位和为 x 的数的平方和。

通过枚举当前位选什么，不难写出递推式

cnti=∑9j=1cnti−j
lineari=∑9j=110⋅lineari−j+j⋅cnti−j
squarei=∑9j=1100⋅squarei−j+20j⋅lineari−j+j2cnti−j

发现三个状态的转移都只与最近 9 位有关，将它们压成矩阵，用矩阵快速幂转移即可。

时间复杂度 O(logn) ，其中常数为 293