龙格-库塔(Runge-Kutta)方法数学原理及实现

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。

对于一阶精度的欧拉公式有：

yi+1=yi+hki

其中 h 为步长，则 yi+1 的表达式与 y(xi+1) 的Taylor展开式的前两项完全相同，即 局部截断误差为 O(h2) 。
当用点 xi 处的斜率近似值 k1 与右端点 xi+1 处的斜率 k2 的算术平均值作为平均斜率 k∗ 的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：

yi+1=yi+h(k1+k2)

其中 k1=f(xi,yi) ， k2=f(xi+h,yi+hk1)
依次类推，如果在区间 [xi,xi+1] 内多预估几个店上的斜率值 k1,k2,…,km ，并用他们的加权平均数作为平均斜率 k∗ 的近似值，显然能够构造出具有很高精度的高阶计数公式。
上述两组公式在形式删过的共同点：都是用 f(x,y) 在某些点上值得线性组合得出 y(xi+1) 的近似值 yi+1 ，且增加计算的次数，可以提高截断误差的阶，他们的误差估计可以用 f(x,y) 在 xi 处的Taylor展开来估计。

于是可考虑用函数 f(x,y) 在若干点上的函数值的线性组合老构造金斯公式，构造时要求近似公式在 f(xi,yi) 处的Taylor展开式与解 y(x) 在 xi 处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使金斯公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数，又提高了计算方法精度的阶数。或者说，在 [xi,xi+1] 这一步内计算多个点的斜率值，若够将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格-库塔(Runge-Kutta)方法。
一般的龙格-库塔法的形式为

称为P阶龙格-库塔方法。
其中 ai,bij,cj 为待定参数，要求上式 yi+1 在点 (xi,yi) 处作Taylor展开，通过相同项的系数确定参数。

当然，经典的龙格-库塔方法是四阶的。也就是在 [xi,xi+1] 上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率 k∗ 的近似值，构成一系列四阶龙格-库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是 O(h5) 。
下面介绍最常用的一种四阶龙格-库塔方法。
设

yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K4

这里 K1,K2,K3,K4 为四个不同点上的函数值，分别设其为

其中 c1,c2,c3,c4,a2,a3,a4,b21,b31,b32,b41,b42,b43 均为待定系数。
把 K2,K3,K4 分别在 xi 点占城h的幂级数，带入线性组合式中，将得到的公式与 y(xi+1) 在 xi 点上的泰勒展开式比较，使其两式右端知道 h4 的系数相等，经过较复杂的解方程过程便可得到关于 ai,bij,cj 的一组特解。

a2=a3=b21=b32=12

b31=b41=b42=0

a4=b43=1

c1=c4=16

c2=c3=13

带入之后得到

龙格-库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格-库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应正对问题的具体特点选择适合的算法。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长 h 取小。

龙格-库塔法的C语言实现

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

void RKT(t,y,n,h,k,z)
int n;              /*微分方程组中方程的个数，也是未知函数的个数*/
int k;              /*积分的步数(包括起始点这一步)*/
double t;           /*积分的起始点t0*/
double h;           /*积分的步长*/
double y[];         /*存放n个未知函数在起始点t处的函数值,返回时,其初值在二维数组z的第零列中*/
double z[];         /*二维数组,体积为n x k.返回k个积分点上的n个未知函数值*/
{
    extern void Func();             /*声明要求解的微分方程组*/
    int i,j,l;
    double a[4],*b,*d;
    b=malloc(n*sizeof(double));     /*分配存储空间*/
    if(b == NULL)
    {
        printf("内存分配失败\n");
        exit(1);
    }
    d=malloc(n*sizeof(double));     /*分配存储空间*/
    if(d == NULL)
    {
        printf("内存分配失败\n");
        exit(1);
    }
    /*后面应用RK4公式中用到的系数*/
    a[0]=h/2.0;                     
    a[1]=h/2.0;
    a[2]=h; 
    a[3]=h;
    for(i=0; i<=n-1; i++) 
        z[i*k]=y[i];                /*将初值赋给数组z的相应位置*/
    for(l=1; l<=k-1; l++)
    {
        Func(y,d);
        for (i=0; i<=n-1; i++)
            b[i]=y[i];
        for (j=0; j<=2; j++)
        {
            for (i=0; i<=n-1; i++)
            {
                y[i]=z[i*k+l-1]+a[j]*d[i];
                b[i]=b[i]+a[j+1]*d[i]/3.0;
            }
            Func(y,d);
        }
        for(i=0; i<=n-1; i++)
          y[i]=b[i]+h*d[i]/6.0;
        for(i=0; i<=n-1; i++)
          z[i*k+l]=y[i];
        t=t+h;
    }
    free(b);            /*释放存储空间*/
    free(d);            /*释放存储空间*/
    return;
}
main()
{
    int i,j;
    double t,h,y[3],z[3][11];
    y[0]=-1.0; 
    y[1]=0.0; 
    y[2]=1.0;
    t=0.0; 
    h=0.01;
    RKT(t,y,3,h,11,z);
    printf("\n");
    for (i=0; i<=10; i++)           /*打印输出结果*/
    {
        t=i*h;
        printf("t=%5.2f\t ",t);
        for (j=0; j<=2; j++)
          printf("y(%d)=%e ",j,z[j][i]);
        printf("\n");
    }
}

void Func(y,d)
double y[],d[];
{
    d[0]=y[1];      /*y0'=y1*/
    d[1]=-y[0];     /*y1'=y0*/
    d[2]=-y[2];     /*y2'=y2*/
    return;
}

ps:如果有时间的话，可能会回过头来加一分解方程的推到吧…