数位DP专题小结--by sgx

数位DP，一句话概括，就是在一个给定区间内求出满足某中奇葩条件的数字个数，这真是奇葩题目，但是总体写起来又有一定规律性。
主要可以分为以下几个步骤：

确定主体框架，确定一个大方向，想想该如何设计状态；
下面基本就是模板，直接DFS就行了，一位一位处理，这也是他叫按位DP的原因。
数位DP代码一般都很短，不过效率挺好，解决一些竞赛中出现的问题非常有用 。

如果看了这部分 ，你感觉还是不会的话，(这是当然啊，狂汗~~）,那么请继续往下看。
下面用几个例子来说明一下，具体注释都附在代码内：

PS：我是菜狗，这些都是很水的数位DP，求大神勿喷~~

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Problem 1160 - 科协的数字游戏I

Time Limit: 1000MS       Memory Limit: 65536KB       Difficulty:     
Total Submit: 181      Accepted: 29      Special Judge: No 

Description

科协里最近很流行数字游戏。某人命名了一种不降数，这种数字必须满足从左到右各位数字成大于等于的关系，如123，446。现在大家决定玩一个游戏，指定一个整数闭区间[a,b]，问这个区间内有多少个不降数。

Input

题目有多组测试数据。每组只含2个数字a, b (1 <= a, b <= 2^31)。

Output

每行给出一个测试数据的答案，即[a, b]之间有多少阶梯数。

Sample Input

1 9 
1 19

Sample Output

9
18

Hint

 

 /********************************************************************
 * Problem:科协的数字游戏2
 * source:XDOJ
 * author：sgx
 * date：2013/09/15
 *********************************************************************/
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>

 using namespace std;

 #define LL long long

 const int N=25;
 int digit[N];
 LL dp[N][N];

 LL dfs(int pos,int statu,int limit)
 {
      int i,end,s;
      LL res=0;
      if(pos==-1)
         return 1;
      if(!limit&&dp[pos][statu]!=-1)
         return dp[pos][statu];

      end=limit?digit[pos]:9;
      for(i=statu;i<=end;i++)
          res+=dfs(pos-1,i,limit&&i==end);
      if(!limit)
          dp[pos][statu]=res;
     return res;
 }

 LL calc(LL n)
 {
      int len=0;
      memset(dp,-1,sizeof(dp));
      while(n)
      {
          digit[len++]=n%10;
          n/=10;
      }
      return dfs(len-1,0,1);
 }

 int main()
 {
      LL a,b;
      while(scanf("%lld %lld",&a,&b)!=EOF)
          printf("%lld\n",calc(b)-calc(a-1));
     return 0;
 }

 

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Problem 1161 - 科协的数字游戏II

Time Limit : 1000MS       Memory Limit : 65536KB       Difficulty :     
Total Submit : 108      Accepted : 13      Special Judge : No 

Description

由于科协里最近真的很流行数字游戏。（= =！汗一个）某人又命名了一种取模数，这种数字必须满足各位数字之和 mod N为0。现在大家又要玩游戏了，指定一个整数闭区间[a,b]，问这个区间内有多少个取模数。

Input

题目有多组测试数据。每组只含3个数字a, b, n (1 <= a, b <= 2^31,1 <= n < 100)。

Output

每个测试用例输出一行，表示各位数字和 mod N为0 的数的个数。

Sample Input

1 19 9

Sample Output

2

Hint

Source

tclh123

 

 

 /********************************************************************
 * Problem:科协的数字游戏2
 * source:XDOJ
 * 分析：记忆化搜索部分，pre表示前面各位数字之和对该数取模的结果
 * author：sgx
 * date：2013/09/15
 *********************************************************************/
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>

 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const int maxn=100+5;

 int dp[maxn][105];
 int digit[maxn];

 int mod,l,r;
 int DFS(int pos,int pre,bool limit)
 {
     if(pos==-1)
         return pre==0;
     if(!limit&&dp[pos][pre]!=-1)
         return dp[pos][pre];

      LL res=0,end=limit?digit[pos]:9;

      for(int i=0;i<=end;i++)
      {
         int new_pre=(pre+i)%mod;
          res+=DFS(pos-1,new_pre,limit&&i==end);
      }
      if(!limit)
          dp[pos][pre]=res;
     return res;
 }

 LL solve(int n)
 {
      int len=0;
      while(n)
      {
          digit[len++]=n%10;
          n/=10;
      }
      return DFS(len-1,0,true);
 }

 int main()
 {
      while(scanf("%d%d%d",&l,&r,&mod)!=EOF)
      {
          memset(dp,-1,sizeof(dp));
          printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));
      }
      return 0;
 }

 

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HDU3052--B-number

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1556    Accepted Submission(s): 852
Problem Description

A wqb-number, or B-number for short, is a non-negative integer whose decimal form contains the sub- string "13" and can be divided by 13. For example, 130 and 2613 are wqb-numbers, but 143 and 2639 are not. Your task is to calculate how many wqb-numbers from 1 to n for a given integer n.

Input

Process till EOF. In each line, there is one positive integer n(1 <= n <= 1000000000).

Output

Print each answer in a single line.

Sample Input

13
100
200
1000

Sample Output

1
1
2
2

 

 

 /**************************************************************
 * 题意：求[1,n]内有多少个数字，该数字有13，且能被13整除 n<=10^9
 即要满足x % 13 = 0；x=pre*10^pos+next;
  (pos代表处理到当前的位数，next代表正在处理的位置上面的数字)
  (pre*10^pos + next) % 13 = 0，pre是之前确定的部分；
  需要的参数为pre , pos ,状态用status表示
 status==2记录pre拥有"13"，status==1是表示没有出现13，但是首位是1；
 status=0表示没有13；

 * Author:sgx
 * Date:2013/09/15
 *************************************************************************/

 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>

 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const int maxn=100+5;

 int dp[10][13][3];
 int digit[10];

 int DFS(int pos,int status,int pre,bool limit)
 {
     if(pos==-1)
         return status==2&&pre==0;
     if(!limit&&dp[pos][pre][status]!=-1)
         return dp[pos][pre][status];

      LL res=0;
      int end=limit?digit[pos]:9;

      for(int i=0;i<=end;i++)
      {
         int new_pre=(pre*10+i)%13;
         int new_status=status;

         /*准备计算出下一阶段中新的状态status*/
         if(status==0&&i==1)
              new_status=1;/*原来没有出现13但是当前位是1，所以属于状态1对应的情况，故更新新状态为1；*/
         if(status==1&&i==1)
              new_status=1;/*解释方法同上*/
         else if(status==1&&i!=3)
              new_status=0;
         if(status==1&&i==3)
              new_status=2;

         res+=DFS(pos-1,new_status,new_pre,limit&&i==end);
         /*//limit==true则说明有限制,即所有可能并没有被全部记录,故此时记入dp数组 */
         //limit==false则说明之后的分支状态已经搜索完全
     }
     if(!limit)
          dp[pos][pre][status]=res;
     return res;
 }

 LL solve(int n)
 {
      int len=0;
      while(n)
      {
          digit[len++]=n%10;
          n/=10;
      }
      return DFS(len-1,0,0,true);
 }

 int main()
 {
      LL m,n;
      while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
      {
          memset(dp,-1,sizeof(dp));
          printf("%lld\n",solve(n));
      }
      return 0;
 }

 

HDU3555----BombTime Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 131072/65536 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4594    Accepted Submission(s): 1601
Problem Description

The counter-terrorists found a time bomb in the dust. But this time the terrorists improve on the time bomb. The number sequence of the time bomb counts from 1 to N. If the current number sequence includes the sub-sequence "49", the power of the blast would add one point.
Now the counter-terrorist knows the number N. They want to know the final points of the power. Can you help them?
Input

The first line of input consists of an integer T (1 <= T <= 10000), indicating the number of test cases. For each test case, there will be an integer N (1 <= N <= 2^63-1) as the description.

The input terminates by end of file marker.
Output

For each test case, output an integer indicating the final points of the power.

Sample Input

3
1
50
500

Sample Output

0
1
15

 

 

 /******************************************************************
 * PS:网上大神的文章真的太神了，改不了，贴过来
 * 附个链接：http://blog.csdn.net/whyorwhnt/article/details/8764955
 *******************************************************************/
 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 using namespace std;

 int bit[25];
 __int64 dp[25][3];
 //dp[i][0]表示长度为i,没有49
 //dp[i][1]表示长度为i,没有49但前一位为4
 //dp[i][2]表示长度为i,包括49的个数

 /*limit表示是否有上限,比如n=1234,现在转移到12,如果下一位选3,那么再下一位就有上限,
 上限为4,如果不选3,那么下一位就没限制,最高位9,转移能保证转移到数比n小*/

 __int64 Dfs (int pos,int s,bool limit) //s为之前数字的状态
 {
      if (pos==-1)
         return s==2;
      if (limit==false && ~dp[pos][s])
         return dp[pos][s];
      int i ,end=limit?bit[pos]:9;
       __int64 ans=0;
      for (i=0;i<=end;i++)
      {
         int nows=s;
         if(s==0 && i==4)
              nows=1;
         if(s==1 && i!=9) //前一位为4
              nows=0;
         if(s==1 && i==4)
              nows=1;
         if(s==1 && i==9) //49
              nows=2;
          ans+=Dfs(pos-1 , nows , limit && i==end);
      }
     //limit==true则说明有限制,即所有可能并没有被全部记录,故此时记入dp数组
     //limit==false则说明之后的分支状态已经搜索完全
     return limit?ans:dp[pos][s]=ans;
 }

 int main ()
 {
       __int64 n;
      int T;
      memset(dp,-1,sizeof(dp));
      scanf("%d",&T);
      while (T--)
      {
          scanf("%I64d",&n);
          int len=0;
          while (n)
          {
              bit[len++]=n%10;
              n/=10;
          }
          printf("%I64d\n",Dfs(len-1,0,1));
      }
      return 0;
 }

 

HDU2089--不要62
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 13687    Accepted Submission(s): 4402
Problem Description

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如：
62315 73418 88914
都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

Input

输入的都是整数对n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整数对，则输入结束。

Output

对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。

Sample Input

1 100
0 0

Sample Output

80

 

 /********************************************************************
 * Problem:HDU2089-不要62
 * source:HDU
 * 分析：记忆化搜索部分，i==4时要及时continue掉，不然无限WA；
 * author：sgx
 * date：2013/09/15
 *********************************************************************/
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>

 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const int maxn=100+5;

 int dp[maxn][3];
 int digit[maxn];
 //dp[i][0]表示长度为i,没有62
 //dp[i][1]表示长度为i,没有62但前一位为6
 //dp[i][2]表示长度为i,包括62的个数
 int DFS(int pos,int status,bool limit)
 {
     if(pos==-1)
         return status==2;
     if(!limit&&dp[pos][status]!=-1)
         return dp[pos][status];

      LL res=0,end=limit?digit[pos]:9;

      for(int i=0;i<=end;i++)
      {
         int new_status=status;

         if(i==4)
              new_status=2;
         else if(status==0&&i==6)
              new_status=1;
         else if(status==1&&i==6)
              new_status=1;
         else if(status==1&&i!=2)
              new_status=0;
         else if(status==1&&i==2)
              new_status=2;

          res+=DFS(pos-1,new_status,limit&&i==end);
      }
      if(!limit)
          dp[pos][status]=res;
      return res;
 }

 LL solve(int n)
 {
      int len=0;
      while(n)
      {
          digit[len++]=n%10;
          n/=10;
      }
     return DFS(len-1,0,true);
 }

 int main()
 {
      int n,m;
      while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m))
      {
          memset(dp,-1,sizeof(dp));
          printf("%lld\n",m-n+1-solve(m)+solve(n-1));
      }
      return 0;
 }

 

 

HDU4734F(x)
Time Limit: 1000/500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 485    Accepted Submission(s): 179
Problem Description

For a decimal number x with n digits (A _nA _n-1A _n-2 ... A ₂A ₁), we define its weight as F(x) = A _n * 2 ^n-1 + A _n-1 * 2 ^n-2 + ... + A ₂ * 2 + A ₁ * 1. Now you are given two numbers A and B, please calculate how many numbers are there between 0 and B, inclusive, whose weight is no more than F(A).

Input

The first line has a number T (T <= 10000) , indicating the number of test cases.
For each test case, there are two numbers A and B (0 <= A,B < 10 ⁹)

Output

For every case,you should output "Case #t: " at first, without quotes. The  t is the case number starting from 1. Then output the answer.

Sample Input

3
0 100
1 10
5 100

Sample Output

Case #1: 1
Case #2: 2
Case #3: 13

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <algorithm>

 using namespace std;

 const int maxn=300;
 const int maxm=6000;

 int dp[maxn][maxm];
 int a[maxn];

 int DFS(int pos,int cur,int limit)
 {
     int i,ed,s,ans=0;
     if(pos==-1)
         return cur>=0;
     if(!limit&&dp[pos][cur]!=-1)
         return dp[pos][cur];

      ed=limit?a[pos]:9;
      for(i=0;i<=ed;i++)
      {
          s=cur-i*(1<<pos);
         if(s<0)
             break;
          ans+=DFS(pos-1,s,limit&&i==ed);
      }

      if(!limit&&dp[pos][cur]==-1)
          dp[pos][cur]=ans;
      return ans;
 }

 int transfer(int n)
 {
      int res=0,m=1;
      while(n)
      {
          res+=(n%10)*m;
          n/=10;
          m*=2;
      }
      return res;
 }

 int solve(int n,int m)
 {
      int st=-1;
      while(m)
      {
          a[++st]=m%10;
          m/=10;
      }
      int res=DFS(st,transfer(n),1);
      return res;
 }

 int main()
 {
      int test,n,m;
      scanf("%d",&test);
      memset(dp,-1,sizeof(dp));
      for(int ii=1;ii<=test;ii++)
      {
          scanf("%d%d",&n,&m);
          printf("Case #%d: %d\n",ii,solve(n,m));
      }
      return 0;
 }

 

windy数 

Description

windy定义了一种windy数。
不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。
windy想知道，在A和B之间，包括A和B，总共有多少个windy数？

Input

包含两个整数，A B。
满足 1 <= A <= B <= 2000000000 。

Output

包含一个整数：闭区间[A,B]上windy数的个数。

Sample Input

1 10

Sample Output

9 

 艰难AC。。。。

 <pre class="cpp" name="code">/*******************************************************************
 * problem:windy数
 * source:UESTC1307
 * author:sgx
 * date:2013/09/18
 ********************************************************************/
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>

 using namespace std;
 const int maxn=20;

 typedef long long LL;
 LL dp[maxn][11];
 LL digit[maxn];

 LL DFS(int pos,int pre,bool limit,bool first_place)//first_place判断前导0
 {
     if(pos==-1)
         return first_place==0;
     if(!limit&&dp[pos][pre]!=-1&&first_place==false)
         return dp[pos][pre];

      int end=limit?digit[pos]:9;
      LL ans=0;

      for(int i=0;i<=end;i++)
      {
         if(first_place!=0)
              ans+=DFS(pos-1,i,limit&&i==end,first_place&&i==0);
         else if(abs(i-pre)>=2)
              ans+=DFS(pos-1,i,limit&&i==end,first_place);
      }
      if(!limit&&first_place==false)
          dp[pos][pre]=ans;
      return ans;
 }

 LL solve(LL n)
 {
      LL len=0;
      while(n)
      {
          digit[len++]=n%10;
          n/=10;
      }
      return DFS(len-1,0,true,true);
 }


 int main()
 {

      LL l,r;
      while(scanf("%lld%lld",&l,&r)!=EOF)
      {
          memset(dp,-1,sizeof(dp));
          LL ans=solve(r)-solve(l-1);
          printf("%lld\n",ans);
      }
      return 0;
 }