欧氏距离详解及在matlab中的实现

360百科：

二维公式

  d = sqrt（（x1-x2）^2+（y1-y2）^2）

三维公式

d=sqrt（（x1-x2）^2+（y1-y2）^2+（z1-z2）^2）

推广到n维空间，

欧氏距离的公式 ：d=sqrt（ ∑（xi1-xi2）^2 ） 这里i=1,2n，xi1表示第一个点的第i维坐标，xi2表示第二个点的第i维坐标

n维欧氏空间是一个点集，它的每个点可以表示为（x（1），x（2），…x（n）），其中x（i）（i=1,2…n）是实数，称为x的第i个坐标，两个点x和y=（y（1），y（2）…y（n））之间的距离d（x,y）定义为上面的公式。

在matlab中实现时，将d=sqrt（ ∑（xi1-xi2）^2 ）展开 d=sqrt( ∑(xi1^2-2xi1*xi2+xi2^2))

例：

输入样本集a，xi1^2表示在第一个样本点的每一维进行平方并求和，aa = sum(a.*a,2);xi2^2也是如此，xi1*xi2实际上就是a*a'，xi1*xi2表示两个样本点的对应维数上的值相乘并求和

>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12];   %a为3维空间中的4个样本

>> aa = sum(a.*a,2);  %xi^2,aa为4*1，每个元素代表一个样本的每维的平方和

>> ab = a*a';   %ab是4*4的，每个元素表示两个样本点的对应维数上的值相乘并求和

>>  D = bsxfun(@plus,aa,aa') - 2*ab; %按照公式d=sqrt( ∑(xi1^2-2xi1*xi2+xi2^2))，将aa复制4列，aa'复制4行，最后的都的                                                             %D是4*4，每个元素表示两个样本点的欧氏距离

>> D = sqrt(D);

对于更多的样本数也是如此的方法。

还有一种简单的求法，可以得到相同的结果，但效率较低，不适用于样本数多的时候。

当输入两个数据集时：

>> aa = sum(a.*a,2);
>> bb = sum(b.*b,2);

>> ab = a*b';

>> D = bsxfun(@plus,aa,bb') - 2*ab;

>> D = sqrt(D);