算法竞赛入门经典(第二版) 刘汝佳-第八章 高效算法设计 例题（13/19）

说明

本文是我对第八章19道例题的练习总结，建议配合紫书——《算法竞赛入门经典（第2版）》阅读本文。
另外为了方便做题，我在VOJ上开了一个contest，欢迎一起在上面做：第八章例题contest
如果想直接看某道题，请点开目录后点开相应的题目！！！

例题

例8-1 UVA 120 煎饼

题意
有一叠煎饼正在锅里。煎饼共有n（n≤30）张，每张都有一个数字，代表它的大小。厨师每次可以选择一个数k，把从锅底开始数第k张上面的煎饼全部翻过来，即原来在上面的煎饼现在到了下面。
设计一种方法使得所有煎饼按照从小到大排序（最上面的煎饼最小）。输入时，各个煎饼按照从上到下的顺序给出。

思路
这道题目要求排序，但是基本操作却是“颠倒一个连续子序列”。不过没有关系，我们还是可以按照选择排序的思想，以从大到小的顺序依次把每个数排到正确的位置。方法是先翻到最上面，然后翻到正确的位置。由于是按照从大到小的顺序处理，当处理第i大的煎饼时，是不会影响到第1, 2, 3,…, i-1大的煎饼的（它们已经正确地翻到了煎饼堆底部的i-1个位置上）。

开始马虎了，将if (j > 1)判断条件不慎写成了if (j < 1)提交后WA了两发，提醒自己一定要细心啊！

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

int n;
int a[31];

void flip(int k)
{
    for (int i = 1; i <= k/2; i++)
      swap(a[i], a[k-i+1]);
}

int main()
{
    string s;
    //freopen("in", "r", stdin);
    while (getline(cin, s)) {
        stringstream ss(s);
        int x;
        n = 0;
        while (ss >> x)
          a[++n] = x;

        int b[31];
        memcpy(b, a, sizeof(a));
        sort(b+1, b+n+1);

        vector<int> res;
        for (int i = n; i >= 1; i--) {
            if (a[i] != b[i]) {
                int j = 1;
                for (; a[j] != b[i]; j++);
                if (j > 1) {flip(j); res.push_back(n-j+1);}
                flip(i); res.push_back(n-i+1);
            }
        }

        cout << s << endl;
        for (int i = 0; i < res.size(); i++)
          printf("%d ", res[i]);
        printf("0\n");
    }

    return 0;
}

例8-2 UVA 1605 联合国大楼

题意
你的任务是设计一个包含若干层的联合国大楼，其中每层都是一个等大的网格。有若干国家需要在联合国大楼里办公，你需要把每个格子分配给一个国家，使得任意两个不同的国家都有一对相邻的格子（要么是同层中有公共边的格子，要么是相邻层的同一个格子）。你设计的大厦最多不能超过1000000个格子。
输入国家的个数n（n≤50），输出大楼的层数H、每层楼的行数W和列数L，然后是每层楼的平面图。不同国家用不同的大小写字母表示。

思路
本题的限制非常少，层数、行数和列数都可以任选。正因为如此，本题的解法非常多。我采用的是书中给出的解法：一共只有两层，每层都是n*n的，第一层第i行全是国家i，第二层第j列全是国家j。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

char ans[]="ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz";

int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF){
        printf("2 %d %d\n", n, n);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++)
              printf("%c", ans[i]);
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++)
              printf("%c", ans[j]);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

例8-3 UVA 1152 和为 0 的 4 个值

题意
给定4个n（1≤n≤4000）元素集合A, B, C, D，要求分别从中选取一个元素a, b, c, d，使得
a+b+c+d=0。问：有多少种选法？

思路
中途相遇法。这是一种特殊的算法，大体思路是从两个不同的方向来解决问题，最终“汇集”到一起。

最容易想到的算法就是写一个四重循环枚举a, b, c, d，看看加起来是否等于0，时间复杂度为O(n4)，超时。一个稍好的方法是枚举a, b, c，则只需要在集合D里找找是否有元素-a-bc，如果存在，则方案加1。如果排序后使用二分查找，时间复杂度为(n3logn)。
把刚才的方法加以推广，就可以得到一个更快的算法：首先枚举a和b，把所有a+b记录下来放在一个有序数组或者STL的map里，然后枚举c和d，查一查-c-d有多少种方法写成a+b的形式。两个步骤都是O(n2logn)，总时间复杂度也是O(n2logn)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 4000;

int n, m;
int a[4][N];
int x[N*N], y[N*N];

int main(void)
{
    int kase;
    cin >> kase;
    while (kase--) {
        cin >> n;
        m = n*n;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
          for (int j = 0; j < 4; j ++)
            scanf("%d", &a[j][i]);
        for (int i = 0; i < n; i ++)
          for (int j = 0; j < n; j ++)
            x[i*n+j] = a[0][i] + a[1][j];
        for (int i = 0; i < n; i ++)
          for (int j = 0; j < n; j ++)
            y[i*n+j] = a[2][i] + a[3][j];
        sort(y, y+m);

        long long ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; i ++)
          ans += (upper_bound(y, y+m, -x[i]) - lower_bound(y, y+m, -x[i]));
        printf("%lld\n", ans);
        if (kase) printf("\n");
    }

    return 0;
}

例8-4 UVA 11134 传说中的车

题意
你的任务是在n*n的棋盘上放n（n≤5000）个车，使得任意两个车不相互攻击，且第i个车在一个给定的矩形Ri之内。用4个整数xli, yli, xri, yri（1≤xli≤xri≤n，1≤yli≤yri≤n）描述第i个矩形，其中(xli,yli)是左上角坐标，(xri,yri)是右下角坐标，则第i个车的位置(x,y)必须满足xli≤x≤xri，yli≤y≤yri。如果无解，输出IMPOSSIBLE；否则输出n行，依次为第1,2,…,n个车的坐标。

思路
两个车相互攻击的条件是处于同一行或者同一列，因此不相互攻击的条件就是不在同一行，也不在同一列。可以看出：行和列是无关的，因此可以把原题分解成两个一维问题。
在区间[1～n]内选择n个不同的整数，使得第i个整数在闭区间[n1i, n2i]内。贪心法可解。复杂度O(n^2).

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int N = 5001;

int n;
int rangeA[2][N], rangeB[2][N];
int pos[2][N];

bool put_rook(int i)
{
    int *ra = rangeA[i], *rb = rangeB[i];
    int *p = pos[i];

    int c[N];
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        int mink = n+1, minb = n+1;
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            if (!c[k] && ra[k] <= j && rb[k] >= j && rb[k] < minb) {
                mink = k;
                minb = rb[k];
            }
        }
        //printf("j=%d, mink=%d, ra[mink]=%d, rb[mink]=%d\n", j, mink, ra[mink], rb[mink]);
        if (mink == n+1) return false;
        p[mink] = j;
        c[mink] = 1;
    }
    return true;
}

int main()
{
    while (scanf("%d", &n) && n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++)
                  scanf("%d", &rangeA[j][i]);
            for (int j = 0; j < 2; j++)
                  scanf("%d", &rangeB[j][i]);
        }

        if (!put_rook(0) || !put_rook(1)) printf("IMPOSSIBLE\n");
        else {
            for (int i = 1; i <= n; i++)
              printf("%d %d\n", pos[0][i], pos[1][i]);
        }
    }

    return 0;
}

例8-5 UVA 11054 Gergovia 的酒交易

题意
直线上有n（2≤n≤100000）个等距的村庄，每个村庄要么买酒，要么卖酒。设第i个村庄对酒的需求为ai（-1000≤ai≤1000），其中ai>0表示买酒，ai<0表示卖酒。所有村庄供需平衡，即所有ai之和等于0。
把k个单位的酒从一个村庄运到相邻村庄需要k个单位的劳动力。计算最少需要多少劳动力可以满足所有村庄的需求。输出保证在64位带符号整数的范围内。

思路
考虑最左边的村庄。如果需要买酒，即a1>0，则一定有劳动力从村庄2往左运给村庄1，而不管这些酒是从哪里来的（可能就是村庄2产的，也可能是更右边的村庄运到村庄2的）。这样，问题就等价于只有村庄2～n，且第2个村庄的需求为a1+a2的情形。不难发现，ai<0时这个推理也成立（劳动力同样需要|ai|个单位）.

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main( ) {
    int n;
    while(cin >> n && n) {
        long long ans = 0, a, last = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a;
            ans += abs(last);
            last += a;
        }
        cout << ans << "\n";
    }
    return 0;
}

例8-6 UVA 1606 两亲性分子

题意

思路

代码

例8-7 UVA 11572 唯一的雪花

题意
输入一个长度为n（n≤106）的序列A，找到一个尽量长的连续子序列AL～AR，使得该序列中没有相同的元素。

思路
假设序列元素从0开始编号，所求连续子序列的左端点为L，右端点为R。首先考虑起点L=0的情况。可以从R=0开始不断增加R，相当于把所求序列的右端点往右延伸。当无法延伸（即A[R+1]在子序列A[L～R]中出现过）时，只需增大L，并且继续延伸R。既然当前的A[L～R]是可行解，L增大之后必然还是可行解，所以不必减少R，继续增大即可。
不难发现这个算法是正确的，不过真正有意思的是算法的时间复杂度。暂时先不考虑“判断是否可以延伸”这个部分，每次要么把R加1，要么把L加1，而L和R最多从0增加到n-1，所以指针增加的次数是O(n)的。
最后考虑“判断是否可以延伸”这个部分。比较容易想到的方法是用一个STL的set，保存A[L～R]中元素的集合，当R增大时判断A[R+1]是否在set中出现，而R加1时把A[R+1]插入到set中，L+1时把A[L]从set中删除。因为set的插入删除和查找都是O(logn)的，所以这个算法的时间复杂度为O(nlogn)。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;

const int N = 1000001;

int n;
int a[N];

int main()
{
    int kase;
    scanf("%d", &kase);

    while (kase--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
          scanf("%d", &a[i]);

        int ans = 1, l = 0, r = 0;
        set<int> sa;
        while (true) {
            while (r < n && !sa.count(a[r]))
              sa.insert(a[r++]);
            ans = max(ans, r-l);
            if (r == n) break;
            sa.erase(a[l++]);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }

    return 0;
}

例8-8 UVA 1471 防线

题意

思路

代码

例8-9 UVA 1451 平均值

题意

思路

代码

例8-10 UVA 714 抄书

题意
把一个包含m个正整数的序列划分成k个（1≤k≤m≤500）非空的连续子序列，使得每个正整数恰好属于一个序列。设第i个序列的各数之和为S(i)，你的任务是让所有S(i)的最大值尽量小。例如，序列1 2 3 2 5 4划分成3个序列的最优方案为1 2 3 | 2 5 | 4，其中S(1)、S(2)、S(3)分别为6、7、4，最大值为7；如果划分成1 2 | 3 2 | 5 4，则最大值为9，不如刚才的好。每个整数不超过107。如果有多解，S(1)应尽量小。如果仍然有多解，S(2)应尽量小，依此类推。

思路
“最大值尽量小”是一种很常见的优化目标。下面考虑一个新的问题：能否把输入序列划分成m个连续的子序列，使得所有S(i)均不超过x？将这个问题的答案用谓词P(x)表示，则让P(x)为真的最小x就是原题的答案。P(x)并不难计算，每次尽量往右划分即可（想一想，为什么）。
接下来又可以猜数字了——随便猜一个x0，如果P(x0)为假，那么答案比x0大；如果P(x0)为真，则答案小于或等于x0。至此，解法已经得出：二分最小值x，把优化问题转化为判定问题P(x)。设所有数之和为M，则二分次数为O(logM)，计算P(x)的时间复杂度为O(n)（从左到右扫描一次即可），因此总时间复杂度为O(nlogM)(4)。

此题值得注意的地方是如何使得越靠前的划分值越小。我的实现方法是将其转化为从后往前搜索，使得越靠后的划分的划分值越大。详见代码。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 501;
const int INF = 10000000;

typedef long long LL;

int n, k;
int a[N];

bool check(LL mid)
{
    int cnt = 1;
    LL sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (a[i] > mid) return false;
        if (sum + a[i] > mid) {
            cnt++;
            sum = a[i];
        } else
            sum += a[i];
    }
    return cnt <= k;
}

void get_div(vector<int>& div, LL mid)
{
    int cnt = 1;
    LL sum = 0;
    for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
        if (i < k-cnt || sum + a[i] > mid) {
            cnt++;
            sum = a[i];
            div.push_back(i+1);
        } else
            sum += a[i];
    }
}

int main(void)
{
    int kase;
    cin >> kase;
    while (kase--) {
        cin >> n >> k;
        LL sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            sum += a[i];
        }

        LL lb = 0, ub = sum;
        while (ub - lb > 1) {
            LL mid = (lb + ub) / 2;
            if (check(mid)) ub = mid;
            else lb = mid;
        }

        vector<int> div;
        get_div(div, ub);
        int j = k-2;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (div[j] == i) { printf("/ "); j--;}
            printf("%d%c", a[i], i == n-1 ? '\n' : ' ');
        }
    }

    return 0;
}

例8-11 UVA 10954 全部相加

题意
有n（n≤5000）个数的集合S，每次可以从S中删除两个数，然后把它们的和放回集合，直到剩下一个数。每次操作的开销等于删除的两个数之和，求最小总开销。所有数均小于10^5。

思路
这不就是Huffman编码的建立过程吗？因为n比较小，还可以采用一种更容易写的方法——使用一个优先队列。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

int main(void)
{
    int n; 
    while(cin >> n && n)
    {
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > Queue;

        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int temp;
            scanf("%d", &temp);
            Queue.push(temp);
        }

        int mincost = 0;
        while (Queue.size() > 1)
        {
            int a = Queue.top();
            Queue.pop();
            int b = Queue.top();
            Queue.pop();

            Queue.push(a+b);
            mincost += a+b;
        }

        printf("%d\n", mincost);

        while(!Queue.empty())
            Queue.pop();
    }
    return 0;
}

例8-12 UVA 12627 奇怪的气球膨胀

题意
一开始有一个红气球。每小时后，一个红气球会变成3个红气球和一个蓝气球，而一个蓝气球会变成4个蓝气球，如图8-19所示分别是经过0, 1, 2, 3小时后的情况。经过k小时后，第A～B行一共有多少个红气球？例如，k=3，A=3，B=7，答案为14。

思路
k小时的情况由4个k-1小时的情况拼成，其中右下角全是蓝气球，不用考虑。剩下的3个部分有一个共同点：都是前k-1小时后“最下面若干行”或者“最上面若干行”的红气球总数。
具体来说，设f(k, i)表示k小时之后最上面i行的红气球总数，g(k,i)表示k小时之后最下面i行的红气球总数（规定i≤0时f(k,i)=g(k,i)=0），则所求答案为f(k,b) - f(k, a-1)。
如何计算f(k,i)和g(k,i)呢？以g(k,i)为例，下面分两种情况进行讨论.
如果i≥2k-1，则g(k,i)=2g(k-1,i-2k-1)+c(k)，否则g(k,i)=g(k-1,i)。其中，c(k)表示k小时后红气球的总数，满足递推式c(k)=3c(k-1)，而c(0)=1，因此c(k)=3k。
不管是哪种情况，g(k,i)都可以直接转化为k-1的情况，因此g(k,i)的计算时间为O(k)。类似地，f(k,i)的计算时间也是O(k)，因此本题的总时间复杂度为O(k)。

我开始的做法是直接递归求解f(k, a, b)，也就是k小时后a行与b行之间的红气球总数。递推式大概是f(k, a, b) = 2*f(k-1, a1, b1) + f(k-1, a2, b2)的样子，一提交TLE了。分析了一下，这个递推式的时间复杂度是O(2^k)的，远远超出线性复杂度！然后改成书中提到的递归方式就AC了。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

int exp2[31];
LL exp3[31];

LL f1(int k, int a) //up
{
    if (a == 0) return 0;
    if (k == 0) return 1;
    if (a <= exp2[k-1]) return 2*f1(k-1, a);
    else return 2*exp3[k-1] + f1(k-1, a-exp2[k-1]);
}

LL f2(int k, int b) //up
{
    if (b == exp2[k]+1) return 0;
    if (k == 0) return 1;
    if (b > exp2[k-1]) return f2(k-1, b-exp2[k-1]);
    else return exp3[k-1] + 2*f2(k-1, b);
}

int main(void)
{
    exp2[0] = exp3[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 30; i++) {
        exp2[i] = exp2[i-1]*2;
        exp3[i] = exp3[i-1]*3;
    }

    int kase;
    scanf("%d", &kase);
    for (int t = 1; t <= kase; t++) {
        int k, a, b;
        scanf("%d%d%d", &k, &a, &b);
        printf("Case %d: %lld\n", t, exp3[k] - f1(k, a-1) - f2(k, b+1));
    }

    return 0;
}

例8-13 UVA 11093 环形跑道

题意
环形跑道上有n（n≤100000）个加油站，编号为1～n。第i个加油站可以加油pi加仑。从加油站i开到下一站需要qi加仑汽油。你可以选择一个加油站作为起点，初始油箱为空（但可以立即加油）。你的任务是选择一个起点，使得可以走完一圈后回到起点。假定油箱中的油量没有上限。如果无解，输出Not possible，否则输出可以作为起点的最小加油站编号。

思路
考虑1号加油站，直接模拟判断它是否为解。如果是，直接输出；如果不是，说明在模拟的过程中遇到了某个加油站p，在从它开到加油站p+1时油没了。这样，以2, 3,…, p为起点也一定不是解（想一想，为什么）。这样，使用简单的枚举法便解决了问题，时间复杂度为O(n)。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100001;

int n;
int p[N], q[N];

int main()
{
    int kase;
    scanf("%d", &kase);

    for (int t = 1; t <= kase; t++) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &p[i]);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &q[i]);

        int bg = 0;
        while (bg < n) {
            int i = bg, sp = 0, sq = 0;
            for (; i < bg+n; i++) {
                sp += p[i%n], sq += q[i%n];
                if (sp < sq) break;
            }
            if (i == bg+n) break;
            bg = i+1;
        }

        printf("Case %d: ", t);
        if (bg < n) printf("Possible from station %d\n", bg+1);
        else printf("Not possible\n");
    }

    return 0;
}

例8-14 UVA 1607 与非门

题意
可以用与非门（NAND）来设计逻辑电路。每个NAND门有两个输入端，输出为两个输入端与非运算的结果。即输出0当且仅当两个输入都是1。给出一个由m（m≤200000）个NAND组成的无环电路，电路的所有n个输入（n≤100000）全部连接到一个相同的输入x。
请把其中一些输入设置为常数，用最少的x完成相同功能。输出任意方案即可。

思路
因为只有一个输入x，所以整个电路的功能不外乎4种：常数0、常数1、x及非x。先把x设为0，再把x设为1，如果二者的输出相同，整个电路肯定是常数，任意输出一种方案即可。
如果x=0和x=1的输出不同，说明电路的功能是x或者非x，解至少等于1。不妨设x=0时输出0，x=1时输出1。现在把第一个输入改成1，其他仍设为0（记这样的输入为1000…0），如果输出是1，则得到了一个解x000…0。
如果1000…0的输出也是0，再把输入改成1100…0，如果输出是1，则又得到了一个解1x00…0。如果输出还是0，再尝试1110…0，如此等等。由于输入全1时输出为1，这个算法一定会成功。
问题在于m太大，而每次“给定输入计算输出”都需要O(m)时间，逐个尝试会很慢。好在已经学习了二分查找：只需二分1的个数，即可在O(Logm)次计算之内得到结果，总时间复杂度为O(mlogm)。

如果电路输出非常数，则一定有一个关键的x能够决定结果。问题在于找到这个关键的x。二分法可解。
这个题需要加深理解，目前我还没有完全理解透。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100001;
const int M = 200001;

int n, m;
bool in[N], out[M];
int gate[M][2];

bool get_out(int k)
{
    fill(in+1, in+k+1, 1);
    fill(in+k+1, in+n+1, 0);

    bool a, b;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        a = gate[i][0] < 0 ? in[-gate[i][0]] : out[gate[i][0]];
        b = gate[i][1] < 0 ? in[-gate[i][1]] : out[gate[i][1]];
        out[i] = !(a&&b);
    }
    return out[m];
}

void print(int posx)
{
    for (int i = 1; i < posx; i++)
      printf("1");
    if (posx) printf("x");
    for (int i = posx+1; i <= n; i++)
      printf("0");
    printf("\n");
}

int main()
{
    int kase;
    scanf("%d", &kase);
    while (kase--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            scanf("%d%d", &gate[i][0], &gate[i][1]);

        int posx = 0;
        int res[2];
        res[0] = get_out(0);
        res[1] = get_out(n);
        if (res[0] != res[1]) {
            int lb = 0, ub = n;
            while (ub - lb > 1) {
                int mid = (lb + ub) / 2;
                if (get_out(mid) == res[1]) ub = mid;
                else lb = mid;
            }
            posx = ub;
            printf("%d\n", ub);
        }

        print(posx);
    }

    return 0;
}

例8-15 UVA 12174 乱序播放记录

题意
你正在使用的音乐播放器有一个所谓的乱序功能，即随机打乱歌曲的播放顺序。假设一共有s首歌，则一开始会给这s首歌随机排序，全部播放完毕后再重新随机排序、继续播放，依此类推。注意，当s首歌播放完毕之前不会重新排序。这样，播放记录里的每s首歌都是1～s的一个排列。
给出一个长度为n（1≤s，n≤100000）的播放记录（不一定是从最开始记录的）xi（1≤xi≤s），你的任务是统计下次随机排序所发生的时间有多少种可能性。
例如，s=4，播放记录是3, 4, 4, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 4，不难发现只有一种可能性：前两首是一个段的最后两首歌，后面是两个完整的段，因此答案是1；当s=3时，播放记录1, 2, 1有两种可能：第一首是一个段，后两首是另一段；前两首是一段，最后一首是另一段。答案为2。

思路
“连续的s个数”让你联想到了什么？没错，滑动窗口！这次的窗口大小是“基本”固定的（因为还需要考虑不完整的段），因此只需要一个指针；而且所有数都是1～s的整数，也不需要STL的set，只需要一个数组即可保存每个数在窗口中出现的次数。再用一个变量记录在窗口中恰好出现一次的数的个数，则可以在O(n)时间内判断出每个窗口是否满足要求（每个整数最多出现一次）。
这样，就可以枚举所有可能的答案，判断它对应的所有窗口，当且仅当所有窗口均满足要求时这个答案是可行的。

此题的思路非常明确，但在实际编码中却没那么顺利。s和n不一定那个大那个小，滑动窗口的大小有可能是小于s的，要考虑到各种情况，很容易漏考虑了某种情况导致WA。
代码不解释了，给出一组测试数据帮没有AC的人：
INPUT

1
6 4
1 4 6 4

OUTPUT

2

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100001;

int s, n;
int a[N], c[N];
bool flag[N];

int main()
{
    int kase;
    scanf("%d", &kase);

    while (kase--) {
        scanf("%d%d", &s, &n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
          scanf("%d", &a[i]);

        memset(c, 0, sizeof(c));
        memset(flag, true, sizeof(flag));
        int num = 0;
        for (int i = 0; i < n+s; i++) {
            if (i < n && !(c[a[i]]++)) num++;
            if (i >= s && !(--c[a[i-s]])) num--;
            if (i < s) {
                if (num < min(n, i+1)) flag[i%s] = false;
            } else if (i < n) {
                if (num < s) flag[i%s] = false;
            } else if (num < n-max(i-s+1, 0)) {
                flag[i%s] = false;
            }
        }

        num = 0;
        for (int i = 0; i < s; i++)
          if (flag[i]) num++;
        printf("%d\n", num);
    }

    return 0;
}

例8-16 UVA 1608 不无聊的序列

题意
如果一个序列的任意连续子序列中至少有一个只出现一次的元素，则称这个序列是不无聊（non-boring）的。输入一个n（n≤200000）个元素的序列A（各个元素均为109以内的非负整数），判断它是不是不无聊的。

思路
不难想到整体思路：在整个序列中找一个只出现一次的元素，如果不存在，则这个序列不是不无聊的；如果找到一个只出现一次的元素A[p]，则只需检查A[1…p-1]和A[p+1…n]是否满足条件。
如何找唯一元素？如果事先算出每个元素左边和右边最近的相同元素（还记得《唯一的雪花》吗？），则可以在O(1)时间内判断在任意一个连续子序列中，某个元素是否唯一。
但从左往右找和从右往左找的最坏情况下时间复杂度是O(n^2)，而从两边往中间找的时间复杂度则为O(nlogn)，详细分析见书中。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

const int N = 200001;

int n;
int a[N], lnext[N], rnext[N];

bool check(int l, int r)
{
    if (r-l < 1) return true;

    for (int i = 0; i <= (r-l)/2; i++) {
        int ll = l+i;
        if (lnext[ll] < l && rnext[ll] > r)
          if (check(l, ll-1) && check(ll+1, r)) return true;
        int rr = r-i;
        if (rr == ll) break;
        if (lnext[rr] < l && rnext[rr] > r)
          if (check(l, rr-1) && check(rr+1, r)) return true;
    }
    return false;
}

int main(void)
{
    int kase;
    scanf("%d", &kase);
    for (int t = 1; t <= kase; t++) {
        scanf("%d", &n);
        map<int, int> mp;
        mp.clear();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            lnext[i] = mp.count(a[i]) ? mp[a[i]] : -1;
            mp[a[i]] = i;
        }
        mp.clear();
        for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
            rnext[i] = mp.count(a[i]) ? mp[a[i]] : n;
            mp[a[i]] = i;
        }

        if (check(0, n-1)) printf("non-boring\n");
        else printf("boring\n");
    }

    return 0;
}

例8-17 UVA 1609 不公平竞赛

题意

思路

代码

例8-18 UVA 1442 洞穴

题意

思路

代码

例8-19 UVA 12265 贩卖土地

题意

思路

代码