k进制正整数的对k-1取余与按位取余

华电北风吹
天津大学认知计算与应用重点实验室
日期：2015/8/24

先说一下结论

有 k 进制数 abcd ，有 abcd%(k−1)=(a+b+c+d)%(k−1)
这是因为 kn=((k−1)+1)n=∑ni=0Cin(k−1)i 因此 kn 对(k-1)取余的话为1

例如10进制1425%9=3，(1+4+2+5)=12%9=3.

这个性质目前我在两个地方见到了
（一）算法导论第11章讲散列表的时候，除法散列的时候
h(k)=k mod m
对于m的选取，若m取 2p 或者 2p−1 均是不合适的选择，前者是因为有低p位决定散列函数值，后者是因为只于大于p位出现的数字有关，而于顺序无关。
（二）Leetcode刷题
Leetcode258题
Given a non-negative integer num, repeatedly add all its digits until the result has only one digit.
For example:
Given num = 38, the process is like: 3 + 8 = 11, 1 + 1 = 2. Since 2 has only one digit, return it.
这个的思路是循环利用前面说过的结论
所以对于给的非负整数，只需要对9取余即可，需要考虑整除的时候返回9，而仅仅当输入是0的时候返回0

https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root
https://leetcode.com/problems/add-digits/