斜率优化专题2——bzoj 1010 [HNOI2008]玩具装箱toy 题解

【原题】

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

【分析】

f[i]=min(f[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)^2)
设sum[i]=sum[i]+i,L++
则f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]-L)^2)
设k比j优,f[k]+(sum[i]-sum[k]-L)^2<f[j]+(sum[i]-sum[j]-L)^2
展开:f[k]+sum[i]^2-2*sum[i]*(sum[k]+L)+(sum[k]+L)^2<
        f[j]+sum[i]^2-2*sum[i]*(sum[j]+L)+(sum[j]+L)^2
化简:f[k]-f[j]+(sum[k]+L)^2-(sum[j]+L)^2<2*sum[i]*(sum[k]-sum[j])
转移:(f[k]-f[j]+(sum[k]+L)^2-(sum[j]+L)^2)/(2*(sum[k]-sum[j]))<sum[i]

【代码】

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,L,x[50005],sum[50005],f[50005],q[500005],h,t,i;
long long M(long long x){return x*x;}
double xie(long long k,long long j)
{
  return (f[k]-f[j]+M(sum[k]+L)-M(sum[j]+L))/2.0/(sum[k]-sum[j]);
}
int main()
{
  scanf("%lld%lld",&n,&L);L++;
  for (i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&x[i]),x[i]+=x[i-1],sum[i]=x[i]+i;
  f[0]=0;h=t=1;q[1]=0;
  for (i=1;i<=n;i++)
  {
    while (h<t&&xie(q[h+1],q[h])<sum[i]+1.0) h++;
    f[i]=f[q[h]]+M(sum[i]-sum[q[h]]-L);
    while (h<t&&xie(q[t],q[t-1])>xie(i,q[t])) t--;
    q[++t]=i;
  }
  printf("%lld",f[n]);
  return 0;
}