强连通分量

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算法分类：

图论

问题定义：

有向图强连通分量：

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通（strongly connected）。

如果有向图G的每两个顶点都强连通，则称G是一个强连通图。

非强连通图有向图的极大强连通子图，成为强连通分量（strongly connected components）。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达，{5}，{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交际的方法求强连通分量，时间复杂度为O（N^2+M）。更好的方法是Kosaraju算法或者Tarjan算法。

两者的时间复杂度都是O（N+M）。本文介绍的是Tarjan算法。

算法原理：（Tarjan）

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一颗子树。

搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以盘对栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN（u）为节点u搜索的次序编号（时间戳）。Low（u）为u或者u的子树能够追溯到的最早的栈中的节点的次序号。

由定义可以得出：

Low（u）= Min { DFN（u）， Low（v）} （（u，v）为树枝边，u为v的父节点DFN（v），（u，v）为指向栈中节点的后向边（非横叉边））

当DFN（u）=Low（u）时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法时空复杂度：

O（N+M）

代码实现：（hdu1269）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;
#define MIN(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define N 10005				// 题目中可能的最大点数 
stack<int>sta;				// 存储已遍历的结点 
vector<int>gra[N];			// 邻接表表示图 
int dfn[N];					// 深度优先搜索访问次序 
int low[N];					// 能追溯到的最早的次序 
int InStack[N];				// 检查是否在栈中(2为在栈中，1为已访问，且不在栈中，0为不在) 
vector<int> Component[N]; 	// 获得强连通分量结果
int InComponent[N];			// 记录每个点在第几号强连通分量里
int index,ComponentNumber;	// 索引号，强连通分量个数 
int n, m;					// 点数，边数 

void init(void)
{
	memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
	memset(low, 0, sizeof(low));
	memset(InStack, 0, sizeof(InStack));
	index = ComponentNumber = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		gra[i].clear();
		Component[i].clear();
	}
	
	while(!sta.empty())
		sta.pop();
}

void tarjan(int u)
{
	Instack[u] = 2;
	low[u] = dfn[u] = ++ index;
	sta.push(u);

	for (int i = 0; i < gra[u].size(); ++ i)
	{
		int t = gra[u][i];
		if (dfn[t] == 0)
		{
			tarjan(t);
			low[u] = MIN(low[u], low[t]);
		} 
		else if (InStack[t] == 2)
		{
			low[u] = MIN(low[u], dfn[t]);
		}
	}

	if (low[u] == dfn[u])
	{
		++ ComponentNumber;
		while (!sta.empty())
		{
			int j = sta.top();
			sta.pop();
			InStack[j] = 1;
			Component[ComponentNumber].push_back(j);
			InComponent[j]=ComponentNumber;
			if (j == u)
				binputak;
		}
	}
}
 
void input(void)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        gra[a].push_back(b);
    }
}
 
void solve(void)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    if(ComponentNumber>1)
        puts("No");
    else
        puts("Yes");
}
 
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m)
    {
        init();
        input();
        solve();
    }
}