hdu1695 （容斥原理）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

题意：已知给定k,x,y求 1<=a<=x 1<=b<=y 中满足 gcd(a,b)=k 的(a,b)对数。（注意数对是无序的）。 1<=x,y<=10w, 0<=k<=10w

 

大体思路：

     枚举[1..y]中每个数i 判断[1..min(x,i)]中有多少数与i互质，统计个数。（注意，枚举的是比较大的区间[1..y]）。

     显然如果i是质数，则[1..min(x,i)]中与i互质的个数是全体的个数或者i-1个。（取决于x和i的大小）。

     当i不是质数时，i分解质因数后，质因数的次数不影响结果。我们看另外那个区间有多少个和i不互质（减一下就好了），于是我们只要看另外那个区间中有多少个数是i质因数的倍数就好了。

     区间[1..w]中 p的倍数 显然有 w/p个。

     我们枚举i的质因数利用容斥原理：

          看另外那个区间有多少个数与i不互质。

          容斥原理的具体如下：

          区间中与i不互质的个数 = （区间中i的每个质因数的倍数个数）-（区间中i的每两个质因数乘积的倍数）+（区间中i的每3个质因数的成绩的倍数个数）-（区间中i的每4个质因数的乘积）+...

          于是问题变成了统计每个数的不同质因数的个数而忽略次数。这个可以用筛法。具体做法如下：

          对每个数保存一个真质因数的列表。初始每个列表的长度为0。然后从2开始，分别检查每个数的列表长度，如果列表长度不为0，则这个数是合数，跳过；如果这个长度为0，则我们找到了一个质数，同时再把这个数的倍数（不包含本身）的列表里加入这个数。

 

 

用到了欧拉函数,素因子分解,筛选法,组合数学上的容斥原理等,也不失为一道好题!!!

题目意思好懂,在[1...b]中选x,在[1....d]中选y,使gcd(x,y)=k,求不重复的对数

有一个小小的变形:在[1...b/k]中选x,在[1....d/k]中选y,使gcd(x,y)=k,求不重复的对数

我们让d>=b;　　然后在[1....d/k]进行枚举,对于每一个i,我们只要在1...min(i-1,b)中找到与i互质数,记录个数,然后累加就得到结果了

当i<=b/k时,我们可以直接用欧拉函数计算出与i互质的个数　(当然要先进行因子分解,才能求欧拉函数)

当b/k<i<=d/k时,就比较难求了,我们用b/k减去与i不互质的数的个数得到,求与i不互质的数的个数时就用到容斥原理,设i的素因子分别的p1,p2...pk,则1..b/k中p1的倍数组成集合A1,p2的倍数组成集合A2,p3到A3.....pk到Ak,　由于集合中会出现重复的元素,　所以用容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数.

这算是一道比较复杂的数论题了,参照了大牛门的代码....没办法自己没有能力想出来；

#include<iostream> using namespace std; const int MAXN = 100005; int a, b, c, d, k; __int64 euler[MAXN]; //存放每个数的欧拉函数值； int num[MAXN]; //存放当前数的素因子个数； int primes[MAXN][10]; //存放当前数的素因子； void EulerPrime() //筛选法，求每个数的素数因子 和 每个数的欧拉函数值； { int i, j; euler[1] = 1; for(i=2; i<MAXN; i++) { if( ! euler[i]) { for(j=i; j<MAXN; j+=i) { if( ! euler[j]) euler[j] = j; euler[j] = euler[j] * (i - 1) / i; primes[j][num[j]++] = i; } } euler[i] += euler[i-1]; } } __int64 dfs(int x, int b, int now) //求不大于b的数中与now不互质的数的个数； { //dfs()的容斥原理 __int64 res = 0; for(int i=x; i<num[now]; i++)//容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数. res += b / primes[now][i] - dfs(i+1, b/primes[now][i], now); return res; } int main() { int i, cs, t; __int64 ans; EulerPrime(); while(scanf("%d",&t) != EOF) { for(cs=1; cs<=t; cs++) { printf("Case %d: ",cs); scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); if(k == 0) { printf("0/n"); continue; } if(b > d) swap(b, d); b /= k; d /= k; ans = euler[b]; for(i=b+1; i<=d; i++) //求 b+1—>d 之间 ans += b - dfs(0, b, i);//0—>b 之间；用b减去与i不互质的数的个数得到 printf("%I64d/n", ans); } } return 0; }