相干矩阵（coherency matrix）、协方差矩阵（covariance matrix）、散射矩阵

（1）Sinclair矩阵：通常情况下，雷达目标在远场区的电磁散射特性是一个线 性过程，如果选定了散射空间坐标系以及相应的极化基，那么雷达照射波和目标散射波的各极化分量之间存在着线性变换关系，因此，目标的变极化效应可以用一个 复二维矩阵的形式来表示，称为Sinclair矩阵，它代表了特定姿态和观测频率下目标的全极化信息。如果水平、垂直极化波发射，水平、垂直极化波接收， 则Es=S.Ei，此时，Sinclair矩阵可以表示为S=[Shh Shv; Svh Svv]，Shv物理意义上对应着以垂直极化照射目标时后向散射波的水平极化分量。可见，只考虑相对相位，Sinclair矩阵共有7个独立变量。称在单 站情况下传播介质满足互易性条件的雷达目标为互易目标，此时Shv=Svh，即Sinclair矩阵只有5个独立变量（不考虑绝对相位）。

（2）Mueller矩阵：如果入射波和散射波分别用Stokes矢量gi和gs来表示，则gs=M.gi，这里的M即称为Mueller矩阵。Mueller矩阵是一个实矩阵，并且通常情况下它是非对称的。

（3） 相干矩阵：如果利用Pauli基矩阵对Sinclair矩阵进行向量化可得：kp=(1/sqrt(2)).[Sxx+Syy; Sxx-Syy; Sxy+Syx; i.(Sxy-Syx)]，则称T=kp.kp’（“’”表示共轭转置）为相干矩阵。可见，相干矩阵是一个4*4的Hermit半正定矩阵，对于互易目 标，相干矩阵的维数减少为3*3。

（4）协方差矩阵：如果直接对Sinclair矩阵进行向量化可得：kl=[Sxx; Sxy; Syx; Syy]，则称C=kl.kl’（“’”表示共轭转置）为协方差矩阵。可见，协方差矩阵也是一个4*4的Hermit半正定矩阵，对于互易目标，协方差矩 阵的维数也减少为3*3。此外，相干矩阵和协方差矩阵是一对相似矩阵，一方可以通过相似变换得到另一方。

（5）在描述极化散射矩阵时，许 多文献习惯使用“极化”和“散射”两个词缀，譬如，称Mueller矩阵为Mueller散射矩阵，称相干矩阵为极化相干矩阵或相干散射矩阵，称协方差矩 阵为极化协方差矩阵。个人认为：在PSAR领域，使用“极化”和“散射”两个词缀并无必要，这样一方面可以简化描述，另一方面也可以统一描述而不至于引起 混淆。

（6）有些文献称Sinclair矩阵为2*2的相干散射矩阵。个人认为：这里“相干”的意义是相对于“一个分辨单元内”而言的， 由于分辨单元尺寸远大于雷达波长尺寸，因此，一个分辨单元内存在着许多强散射点，而目标回波正是这些强散射点回波的相干叠加。可见，这里“相干”的意义与 相干斑形成原理中“相干”的意义是一致的。

（7）有些文献也称Mueller矩阵和协方差矩阵为相干矩阵。个人认为：Mueller矩 阵、相干矩阵和协方差矩阵中“相干”的意义是相对于“像素与像素之间”而言的，因为使用相干矩阵（包括Mueller矩阵和协方差矩阵）的重要意义在于求 集合平均，此时与Sinclair矩阵的最大区别在于利用了像素与像素之间的相干信息，这就是通常利用相干矩阵（包括Mueller矩阵和协方差矩阵）进 行滤波、目标分解等的原因。譬如，在Huynen类型的目标分解中，将相干矩阵{T}（“{.}”表示求集合平均）分解为秩1相干矩阵和N目标相干矩阵， 这里的秩1相干矩阵有一个相对应的Sinclair矩阵。

（8）综上所述，Sinclair矩阵中“相干”的意义是相对于“一个分辨单元内”而言的，但Mueller矩阵、相干矩阵和协方差矩阵中“相干”的意义是相对于“像素与像素之间”而言的，两者的意义截然不同，因此，在使用极化散射矩阵时应分别对待。

关键词：相干矩阵（coherency matrix）、协方差矩阵（covariance matrix）、目标分解（target decomposition）

PS：
1．  散射矩阵S可用来描述目标的变极化效应，但其适用对象是确定性目标，对于起伏目标，电磁散射特性不再是固定的，而是具有一定的随机性，这时就使用Mueller矩阵来刻画其散射特性。

2．  还 有一个与M矩阵很相似的矩阵---Kennaugh矩阵，只有最后一行的符号与Mueller矩阵不同（在BSA约定下），在有些地方这两个矩阵是混用 的，他们包含的关于目标的电磁散射特性信息是完全相同的，但他们的物理意义不同。M矩阵用来描述目标的变极化效应，Kennaugh矩阵（简记为K）反映 了雷达接收功率与收发天线的依赖关系，有公式：P=1/2*（Jt*K*Js），其中Jt，Js为入射波与散射波的Stockeds矢量。

极化干涉合成孔径雷达进展

 

极化（偏振）

散射矩阵、协方差矩阵

散射矩阵,又称S矩阵，是物理学中描述散射过程的一个主要观测量。

现代高能物理的发展，同其他物理学一样是理论和实验的互动，而这种互动主要的桥梁就是散射矩阵。

假设散射源为很好的定域散射源，与被散射粒子的相互作用局限在有限的空间范围内，那么，无穷远时间以前粒子处于一个自由态，称为入态，记为|Ψ>_in；无穷远时间之后粒子也是处于一个自由态，称为出态，记为|Ψ>_out。 入态到初态，相互作用可以用一个矩阵描述，记为S，那么就有：

|Ψ>_out＝S |Ψ>_in

这就是散射矩阵的定义。

散射矩阵直接与可观测的物理量相联系，但是我们在量子场论中处理的是场，两者如何联系？或者说如何从量子场论计算散射矩阵？我们还要利用一个LSZ约化规则，它联系了量子场论中的格林函数和可观测的散射矩阵。这使得理论能够预言实验。

 

协方差矩阵

在统计学与概率论中，协方差矩阵（或称共变异矩阵）是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

假设X是以n个标量随机变量组成的列向量，

并且μ_i 是其第i个元素的期望值, 即, μ_i = E(X_i)。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下协方差：

即：

矩阵中的第(i,j)个元素是X_i与X_j的协方差。这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。

术语与符号分歧

协方差矩阵有不同的术语。有些统计学家，沿用了概率学家威廉·费勒的说法，把这个矩阵称之为随机向量X的方差（Variance of random vector X），这是从一维随机变量方差到高维随机向量的自然推广。另外一些则把它称为协方差矩阵（Covariance matrix），因为它是随机向量里头每个标量元素的协方差的矩阵。不幸的是，这两种术语带来了一定程度上的冲突：

随机向量X的方差（Variance of random vector X）定义有如下两种形式：

 

协方差矩阵（Covariance matrix）定义如下：

第一个记号可以在威廉·费勒的广受推崇的两册概率论及其应用的书中找到。两个术语除了记法之外并没有不同。

性质

 与 满足下边的基本性质：

7. 若 p = q，则有
9. 若 与 是独立的，则有

其中  与 是随机向量,  是随机向量,  是 向量,  与 是 矩阵。

尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。 这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis)，在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。

复随机向量

均值为μ的复随机标量变量的方差定义如下（使用共轭复数）：

其中复数z的共轭记为z ^* 。

如果Z 是一个复列向量,则取其共轭转置，得到一个方阵:

其中Z ^* 为共轭转置, 它对于标量也成立，因为标量的转置还是标量。

估计

多元正态分布的协方差矩阵的估计的推导非常精致. 它需要用到谱定义以及为什么把标量看做矩阵的trace更好的原因。参见协方差矩阵的估计。

Covariance Matrix

Given  sets of variates denoted , ...,  , the first-order covariance matrix is defined by

where  is the mean. Higher order matrices are given by

An individual matrix element  is called the covariance of  and .