LSH(local sensitive hash)详解
LSH local sensitive hash，来自于 mining of massive datasets
包括lsh的详细介绍以及针对不同距离函数的LSH。
作用：
解决的问题：相似性计算，避免两两计算，提供一组Hash函数，将相似的pair放在一个bucket里面，降低计算规模。
约束：
Hash函数的要求:
1.相似的pair比不相似的paire更容易成为candidate
2.识别candidate paire的效率要比从所有pair中识别candidate pair效率高(利用minhash)
3.combinable 技术可以更好的降低false positive/negative
4.combinable 技术识别candidate pair时间更少
Local sensitive hash function: 是一组hash函数F， 如果f(x) = f(y)，说明x,y是candiadte pair。 如果f(x) != f(y)，x，y不是candidate pair。
LSH函数集合将原始的特征规模降低为|F|，也就是Hash函数的个数。
LSH需要符合如下约束，d是距离度量函数，d1 < d2, p1 > p2：
if d(x,y) <= d1, p(f(x) = f(y)) >= p1
if d(x,y) >= d2, p(fx) = f(y)) <= p2
则称为(d1,d2,p1,p2)-sensitive
这两个约束说明两个问题：
1.如果x,y的距离小于d1, x,y成为candidate pair的概率要最小为 p1,尽量保证距离小的以大概率成为pair。
2.如果x,y的距离大于d2，x,y成为candidate pair概率最大伪p2, 保证距离大的以极小的概率成为pair。
这就要求，随着距离正大，成为pair的概率要降低，符合常识。
我理解d1,d2的约束是为了概念更严格，因为有的时候d1<d2，p1 不一定大于p2(欧氏距离)，加上d1,d2的约束，在dx ~[0,d1], dy~[d2,无穷]这两个集合里，dx < dy，p1>p2一定成立
combining tech:
LSH提供hash function，保证candidate pair能在一起，而 combine 技术可以更好的延伸这个概念
combine技术有两种： and-construct or-constrauct,其实也就是band tech.
F为lsh集合， F'是针对F进行combile技术结果：
and-construct：将F中r个hash 函数作为一组，保证fi(x)=fi(y), i=1,2...r，也就是r个hash值都相等才算相等，显然限制更加严格 (d1,d2,p1^r, p2^r) p1^r < p1，进一步降低candidate pair的个数
or-construct :将F中r和hash函数作为一组，保证fi(x)=fi(y)中有一个为真则为真，i=1,2...r，限制变少(d1,d2,1-(1-p1)^r, 1-(1-p2)^r)，也就是(1-p1)^r表示都不想等的概率。
两者结合起来，1-(1-p1^r)^m, r*m=hash函数个数
之前的博文中也提到了类这样的技术，min-hash 和banding技术的集合：
先利用and-construct，保证只有极其相似hash值相同概率才高，降低candidate pair的规模，然后利用 or-construct技术，保证整体上相似的pair至少在某个band里面成为candidate pair
整体来讲，LSH 就是基于距离度量函数提供一组hash函数，满足上面提到的约束，保证越相似的pair hash值相同的概率越高，能够成为candidate pair，同一hash值里面的元素少，降低整体的计算规模，同时利用and/or-construct，一方面降低计算规模，另一方面保证lsh的整体召回率，也就是相似pair至少会在某个band里面成为candidate pair。
LSH for different distance measure:
目前的问题是针对不同的距离度量函数，提供不同local sensitive hash函数，符合上面的条件
1.jaccard 距离,见 http://blog.csdn.net/hxxiaopei/article/details/7977248
jaccard的距离的LSH之前已经说过不再具体介绍，min-hash
2.哈明距离
计算x,y里面不同bit的个数。
这个也很简单，hash函数集合F中，fi(x) = xi即可。
其实这个和simhash的后续处理一致
3.cosin 相似性
jaccard/哈名距离 主要是基于特征字面值进行处理，相等或者不相等。而cosin计算的是夹角，而非计算两个向量里相同元素的个数。
比如[1,2,3,4,5][10,20,30,40,50]的cosin值为1，夹角为0。
假定d(x,y)表示向量x,y的相似性，对应cos中的夹角theta.
LSH函数这样定义：假定x,y的特征维数为N，random的选择K个N维度向量V={v1,v2...vk}
定义 d(v1,x)表示v1,x的夹角，基于V，定义LSH集合 F={f1,f2...fk}，其中 fi(x)=sign, sign= {-1,+1}，如果x与vi的夹角>90,sign=-1； 如果x与vi的夹角<=90,则sign = -1;
基于F的定义，
d(x,y)=0,表示两个x，y相等，则无论V取值如何fi(x) =fi(y)的概率p = 1.
d(x,y)=pi/2，表示x,y夹角为90度，则fi(x)=fi(y)的概率为1-pi/(2*pi) = 1-0.5=0.5
d(x,y)=pi，表示x,y的夹角为180，则fi(x)=fi(y)的概率为0
上面是三个比较特殊的夹角，针对normal的d(x,y)，则有:
fi(x)=fi(y)的概率p1= 1-d(x,y)/pi，符合LSH的约束。
(d1,d2,1-d1/pi, 1-d2/pi)-sensitive
每个特征点，经过LSH处理，生成K维的{-1,+1}的向量，利用and-construct or-construct进一步优化即可
这里需要考虑的是如何选择K特征向量V，论文提高考虑要服从高斯分布。
4.欧式距离
欧式距离，L2-norm，计算两个点在欧式空间的距离。这个同cosin相似性一样，不能通过字面的相等不相等来计算。
比如[1,1,1]、[2,2,2] 的距离小于[1,1,1]、[10,10,10]的距离。
假定d(x,y)表示向量x,y的距离，值越大，相似性越低。
LSH的定义为：选择一条直线，水平或者垂直方向(针对多维数据，则取相应的直线)，对直线按照宽度为a等分，利用用户在这个维度上的值，计算应该落在那一块,针对LSH 集合F，
fi(x) = (xi, a)~xi/a
基于F的定义,我们将情况分成2个部分：
1,x,y与直线平行：
d(x,y)为x,y的距离，d(x,y)< a，fi(x)=fi(y)的概率至少为p=(a-d(x,y))/a = 1 - d(x,y)/a：
d=0, 则p = 1
d = a/2，则p=0.5
p= 0.1a, 则 p = 0.9
p = a, 则p = 0
2.x,y与直线有夹角theta
如果d > a时，是有可能落在同一bucket中，比如下图的y,m。
根据cos法则，落在水平直线上的距离为d*cos(theta)，如果距离刚好是a，可以计算出theta,则落在一个bucket的概率最多为1-theta/90，如果d*cos(theta)<a，则theta变大，概率变低。随着d的变大，概率降低
如果d=2a，则theta=60,p=1/3
如果d=sqrt(a)，则theta=45,p=1/2
则为(a/2, 2a, 1/2,1/3)-sensitive,符合d1>d2, p2< p1的约束。
解释一下，如果距离小于a/2，至少以p=1/2的概率落在一起，如果d变小，落在一个bucket的概率曾江；如果d>2a，则最多1/3的概率落在一起，如果d变大，摞在一起的概率一定降低
这说明一个事情，d1<d2,则p1>p2的成立条件是[0,d1][d2,~]，大多数情况下(jaccard,hamming,cos)，如果d1<d2,则p1>p2对任何d1<d2关系都成立。但是在欧式距离不一定。这是因为LSH F集合导致的。
不过在实际使用中，我们定义LSH 集合F，F = {f1,f2....fk}，fi(x)为x的第i维在对应直线上的bucke id，具体a的大小 依赖于业务，如果d一定，那么越大，落在一起的概率就越高，无论d1还是d2
如果d(x,y) < d~a/2，则fi(x)=fi(y)的概率p=(a-d)/a = 0.5
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| m. z.
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| x. y.
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