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交叉熵(Cross-Entropy)

交叉熵是一个在ML领域经常会被提到的名词。在这篇文章里将对这个概念进行详细的分析。

1.什么是信息量?

假设 X 是一个离散型随机变量,其取值集合为 X ,概率分布函数为 p(x)=Pr(X=x),xX ,我们定义事件 X=x0 的信息量为:
I(x0)=log(p(x0)) ,可以理解为,一个事件发生的概率越大,则它所携带的信息量就越小,而当 p(x0)=1 时,熵将等于0,也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。举个例子,小明平时不爱学习,考试经常不及格,而小王是个勤奋学习的好学生,经常得满分,所以我们可以做如下假设:
事件A:小明考试及格,对应的概率 P(xA)=0.1 ,信息量为 I(xA)=log(0.1)=3.3219
事件B:小王考试及格,对应的概率 P(xB)=0.999 ,信息量为 I(xB)=log(0.999)=0.0014
可以看出,结果非常符合直观:小明及格的可能性很低(十次考试只有一次及格),因此如果某次考试及格了(大家都会说:XXX竟然及格了!),必然会引入较大的信息量,对应的 I 值也较高。而对于小王而言,考试及格是大概率事件,在事件B发生前,大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的,因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量,相应的 I 值也非常的低。

2.什么是熵?

那么什么又是熵呢?还是通过上边的例子来说明,假设小明的考试结果是一个0-1分布 XA 只有两个取值{0:不及格,1:及格},在某次考试结果公布前,小明的考试结果有多大的不确定度呢?你肯定会说:十有八九不及格!因为根据先验知识,小明及格的概率仅有0.1,90%的可能都是不及格的。怎么来度量这个不确定度?求期望!不错,我们对所有可能结果带来的额外信息量求取均值(期望),其结果不就能够衡量出小明考试成绩的不确定度了吗。
即:
HA(x)=[p(xA)log(p(xA))+(1p(xA))log(1p(xA))]=0.4690
对应小王的熵:
HB(x)=[p(xB)log(p(xB))+(1p(xB))log(1p(xB))]=0.0114
虽然小明考试结果的不确定性较低,毕竟十次有9次都不及格,但是也比不上小王(1000次考试只有一次才可能不及格,结果相当的确定)
我们再假设一个成绩相对普通的学生小东,他及格的概率是 P(xC)=0.5 ,即及格与否的概率是一样的,对应的熵:
HC(x)=[p(xC)log(p(xC))+(1p(xC))log(1p(xC))]=1
其熵为1,他的不确定性比前边两位同学要高很多,在成绩公布之前,很难准确猜测出他的考试结果。
可以看出,熵其实是信息量的期望值,它是一个随机变量的确定性的度量。熵越大,变量的取值越不确定,反之就越确定。

对于一个随机变量X而言,它的所有可能取值的信息量的期望( E[I(x)] )就称为熵。
X 的熵定义为:
H(X)=Eplog1p(x)=xXp(x)logp(x)
如果 p(x) 是连续型随机变量的pdf,则熵定义为:
H(X)=xXp(x)logp(x)dx
为了保证有效性,这里约定当 p(x)0,p(x)logp(x)0
当X为0-1分布时,熵与概率p的关系如下图:
[置顶] 交叉熵(Cross-Entropy)_第1张图片
可以看出,当两种取值的可能性相等时,不确定度最大(此时没有任何先验知识),这个结论可以推广到多种取值的情况。在图中也可以看出,当p=0或1时,熵为0,即此时X完全确定。
熵的单位随着公式中log运算的底数而变化,当底数为2时,单位为“比特”(bit),底数为e时,单位为“奈特”。

3.什么是相对熵?

相对熵(relative entropy)又称为KL散度(Kullback-Leibler divergence),KL距离,是两个随机分布间距离的度量。记为 DKL(p||q) 。它度量当真实分布为p时,假设分布q的无效性。
DKL(p||q)=Ep[logp(x)q(x)]=xXp(x)logp(x)q(x)
=xX[p(x)logp(x)p(x)logq(x)]
=xXp(x)logp(x)xXp(x)logq(x)
=H(p)xXp(x)logq(x)
=H(p)+Ep[logq(x)]
=Hp(q)H(p)
并且为了保证连续性,做如下约定:
0log00=00log0q=0plogp0=
显然,当 p=q 时,两者之间的相对熵 DKL(p||q)=0
上式最后的 Hp(q) 表示在p分布下,使用q进行编码需要的bit数,而H(p)表示对真实分布 p 所需要的最小编码bit数。基于此,相对熵的意义就很明确了: DKL(p||q) 表示在真实分布为p的前提下,使用q分布进行编码相对于使用真实分布p进行编码(即最优编码)所多出来的bit数。

4. 什么是交叉熵?

交叉熵容易跟相对熵搞混,二者联系紧密,但又有所区别。假设有两个分布 pq ,则它们在给定样本集上的相对熵定义如下:
CEH(p,q)=Ep[logq]=xXp(x)logq(x)=H(p)+DKL(p||q)
可以看出,交叉熵与上一节定义的相对熵仅相差了 H(p) ,当 p 已知时,可以把 H(p) 看做一个常数,此时交叉熵与KL距离在行为上是等价的,都反映了分布p,q的相似程度。最小化交叉熵等于最小化KL距离。它们都将在 p=q 时取得最小值 H(p) (p=q时KL距离为0),因此有的工文献中将最小化KL距离的方法称为Principle of Minimum Cross-Entropy (MCE)或Minxent方法。
特别的,在logistic regression中,
p:真实样本分布,服从参数为p的0-1分布,即 XB(1,p)
q:待估计的模型,服从参数为q的0-1分布,即 XB(1,q)
两者的交叉熵为:
CEH(p,q)
=xXp(x)logq(x)
=[Pp(x=1)logPq(x=1)+Pp(x=0)logPq(x=0)]
=[plogq+(1p)log(1q)]
=[yloghθ(x)+(1y)log(1hθ(x))]
对所有训练样本取均值得:
1mi=1m[y(i)loghθ(x(i))+(1y(i))log(1hθ(x(i)))]
这个结果与通过最大似然估计方法求出来的结果一致。

5.参考链接:

维基百科关于cross-entropy的解释
交叉熵损失函数
UFLDL中关于logistic regression的说明
Kraft’s inequality

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