[置顶] 数论总结

定理/性质

约数个数定理

定义g(x),为x的约数个数
对于一个数i，可分解成若干质数幂次的乘积，即
i=prime[1]a∗prime[2]b∗.....
g(i)=(a+1)∗(b+1)∗..... .

整除的基本性质

a|b b|c   =>   a|c
a|b a|c   =>   a|bc
a|b a|c   =>   a|ib±jc   (a|b,c的线性组合)
a|b b|a   =>   a=±b

a=ib±c => 公因子(a,b)=公因子(b,c)

• 证明
  
  • 假设d为b,c的公因子,即d|b,d|c
  • 则 d|ib±c=a,即d|a
  • 由d|b得 d=公因子(a,b)=公因子(b,c)
  • 反之,如果d是a,b的公因数,也能证出d是b,c的公因数

互素性质

• a与b,c同时互素=>a与b∗c互素
• p为素数且p|a∗b=>p|a  or  p|b
• a∗b|c  and  gcd(a,c)=1=>b|c
• gcd(ak,b)=1  {k>=1}=>gcd(a,b)=1
• a≡1(modb)=>gcd(a,b)=1

算术基本定理

• 任何一个大于1的自然数n,都可以唯一分解成有限个质数的乘积
• n=pr11∗pr22∗...∗prkk
• p1<p2<...<pk均为质数,r1,r2,...rk均为正整数

模运算

• (a+b)  mod  n=(a  mod  n+b  mod  n)  mod  n
• (a∗b)  mod  n=(a  mod  n∗b  mod  n)  mod  n
• ab  mod  n=(a  mod  n)b  mod  n
• 切记 除法运算 不能模运算！！！

算法

欧几里得算法（gcd）

辗转相除

function gcd(a,b:longint):longint;
begin
 if b=0
 then gcd:=a
 else gcd:=gcd(b,a mod b);
end;

辗转相减（更相减损术/Stein算法）

• a为偶数,b为奇数 gcd(a,b)=gcd(a/2,b)
  a为奇数,b为偶数 gcd(a,b)=gcd(a,b/2)
  a为偶数,b为偶数 gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)
  a为奇数,b为奇数 gcd(a,b)=gcd(b,a-b) {a>b}
  （a或b=0 返回另一个值）或（a=b返回a或b）
• 证明gcd(a,b)=gcd(b,a-b)
  
  • a=b+(a-b)=>(a,b)=(b,a-b) {整除性质}

function gcd(a,b:longint):longint;
begin
 if a=0 then exit(b)
 else
  if b=0 then exit(a)
  else
   if a=b then exit(a);
 if a mod 2=0
 then
  if b mod 2=0
  then gcd:=2*gcd(a div 2,b div 2)
  else gcd:=gcd(a div 2,b)
 else
  if b mod 2=0
  then gcd:=gcd(a,b div 2)
  else
   if a>b
   then gcd:=gcd(b,a-b)
   else gcd:=gcd(b,b-a);
end;

• 优点：
  
  • 加法，减法和移位运算，是最基本的运算，时间消耗最小
  • 乘法，除法，取余运算较慢

扩展欧几里得算法（exgcd）

• 求不定方程 a∗x+b∗y=1 的一组解的方法

• 由 a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)=gcd(b,amod b)=b∗x2+[a−⌊a/b⌋∗b]∗y2=a∗y2+b∗(x2−y2∗⌊a/b⌋)

• =>x1=y2

• =>y1=x2−y2∗(a / b)

procedure exgcd(a,b:int64;var d,x,y:int64);
var t:int64;
begin
  if b=0
  then
   begin d:=a； x:=1; y:=0; end
  else
   begin exgcd(b,a mod b,d,x,y); t:=x; x:=y; y:=t-y*(a div b）； end;
end;

• 用途：
  
  • 1）求解不定方程；
  • 2）求解模线性方程（线性同余方程）；
  • 3）求解模的逆元；

1)求解不定方程

利用扩展欧几里得算法求解不定方程 a∗x+b∗y=n 的整数解的求解全过程，步骤如下：

• (1)先计算 Gcd(a,b) ，若n不能被 Gcd(a,b) 整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以 Gcd(a,b) ,得到新的不定方程 a2∗x+b2∗y=n2 此时 Gcd(a2,b2)=1;

• (2)利用扩展欧几里德算法求出方程 a2∗x+b2∗y=1 的一组整数解 x0,y0 ,则 n2∗x0,n2∗y0是方程a2∗x+b2∗y=n2的一组整数解；

• (3)根据数论中的相关定理,可得方程 a2∗x+b2∗y=n2 的所有整数解为：
  x=n2∗x0+b2∗t
  y=n2∗y0−a2∗t (t=0,1,2，……)
  调整得到正整数解

最小公倍数（lcm）

• lcm（a,b）=a∗b/gcd(a,b)

快速幂

• 其实就是倍增的思想
• a1,a2,a4...a2n依次求出来
• 所以快速+幂/乘/加 都可以

ab mod n

• b and 1 取出二进制下最后一位
• b shr   1 去掉二进制下最后一位
• ab=a2n⋅......⋅a16⋅a8⋅a4⋅a2
• 每次求出 a2i,若二进制下该位为1，即有这位对结果的贡献，乘a2i

function f(a,b,n:int64):int64;  //(a^b) mod n
var t,y:int64;
begin
 t:=1;
 y:=a;
 while b<>0do
  begin
  if(b and 1)=1
  then t:=t*y mod n;
   y:=y*y mod n;
   b:=b shr 1;
  end;
 exit(t);
end;

[acbd]n

矩阵乘法求斐波那契数列
[F[N−1]F[N]]=[acbd]⋅[F[N−2]F[N−1]]

{F[N−1]=a⋅F[N−2]+b⋅F[N−1] F[N]=c⋅F[N−2]+d⋅F[N−1]
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=0b=1c=1d=1
[F[N−1]F[N]]=[0111]⋅[F[N−2]F[N−1]]
[F[N−1]F[N]]=[0111]N−1⋅[F[0]F[1]]

var
 x:array[0..100000000]of longint;
 i,j,k,n:longint;
 t,y:array[1..2,1..2]of int64;
function g(f:longint):longint;
var a,b,c,d:longint;
begin
 t[1,1]:=1; t[1,2]:=0; t[2,1]:=0; t[2,2]:=1;
 y[1,1]:=0; y[1,2]:=1; y[2,1]:=1; y[2,2]:=1;
 k:=1000000007;
 while f<>0 do
  begin
   if (f and 1)=1
   then begin
    a:=(t[1,1]*y[1,1]+t[1,2]*y[2,1])mod k;
    b:=(t[1,1]*y[1,2]+t[1,2]*y[2,2])mod k;
    c:=(t[2,1]*y[1,1]+t[2,2]*y[2,1])mod k;
    d:=(t[2,1]*y[1,2]+t[2,2]*y[2,2])mod k;
    t[1,1]:=a mod k; t[1,2]:=b mod k; t[2,1]:=c mod k; t[2,2]:=d mod k;
   end;
   a:=(y[1,1]*y[1,1]+y[1,2]*y[2,1])mod k;
   b:=(y[1,1]*y[1,2]+y[1,2]*y[2,2])mod k;
   c:=(y[2,1]*y[1,1]+y[2,2]*y[2,1])mod k;
   d:=(y[2,1]*y[1,2]+y[2,2]*y[2,2])mod k;
   y[1,1]:=a mod k; y[1,2]:=b mod k; y[2,1]:=c mod k; y[2,2]:=d mod k;
   f:=f shr 1;
  end;
 exit((x[1]*t[2,1]+x[0]*t[2,2])mod k);
end;

begin
 readln(n);
 k:=1000000007;
 x[0]:=1; x[1]:=1;
 writeln(g(n-1));
 for i:=2 to n do
  x[i]:=(x[i-1]+x[i-2])mod k;
 writeln(x[n]);
end.

矩阵乘法优化递推式

例如 a[n]=a[n−1]+a[n−2]+5
⎡⎣⎢a[N−1]a[N]1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢110100501⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢a[N−2]a[N−1]1⎤⎦⎥

线性筛

var
 prime:array[0..3562115]of longint;
 check:array[0..60000000]of boolean;
 i,j:longint;
 n,len:longint;
begin
 readln(n);
 for i:=2 to n do
  begin
   if check[i]=false
   then begin inc(len); prime[len]:=i; end;
   for j:=1 to len do
    begin
     if i*prime[j]>n then break;
     check[i*prime[j]]:=true;
     if i mod prime[j]=0 then break;
    end;
  end;
 writeln(len);
 for i:=1 to len do
  write(prime[i]);
end.

判断素数

O(N−−√)

我们知道对于一个的他的因子的大小不超过 N−−√ ,所以线性筛预处理,再取模判断即可

O(log2n)

• 费马小定理:当p为素数时  ap≡a(modp)即ap−1≡1(modp)
• 我们枚举几个a判断是否成立即可,要求选取的2<a<p,ap(modp)用快速幂处理

欧拉函数

性质

• φ(n)表示n以内与n互素(包括1)的数的个数
• 欧拉定理：若a与n互质，那么有aφ(n)≡1(mod  n)用于求乘法逆元
• 若p是一个质数，那么φ(p)=p−1，注意φ(1)=1。
• 积性函数
  
  • 若m与n互质，那么φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)<span>
  • n=pk且p为质数，那么φ(n)=pk−p(k−1)=p(k−1)∗(p−1)
• 当n为奇数时有φ(2∗n)=φ(n)
• ∑d|n φ(d)=n
• φ(n)=n∏p为素数且p|np−1p

O(N)求解1∼n的φ(i)表

const
 maxn=1000000;
var
 check:array[0..maxn]of boolean;
 phi,prime:array[0..maxn]of longint;
 n,i,j,ans,len:longint;
begin
 readln(n);
 len:=0;
 for i:=2 to n do
  begin
   if check[i]=false
   then begin inc(len); phi[i]:=i-1; prime[len]:=i; end;
   for j:=1 to len do
    begin
     if prime[j]*i>n
     then break;
     check[i*prime[j]]:=true;
     if i mod prime[j]=0
     then begin phi[i*prime[j]]:=phi[i]*prime[j]; break; end
     else phi[i*prime[j]]:=phi[i]*(prime[j]-1);
    end;
  end;
 for i:=1 to n do
  writeln(phi[i]);
end.

O(n√)求解φ(n)

const
 maxn=1006350;
var
 check:array[0..maxn]of boolean;
 prime:array[0..maxn]of longint;
 i,j:longint;
 n,s,ans,len,t:longint;
begin
 readln(n);
 s:=n; ans:=n; n:=trunc(sqrt(n)); len:=0;
 for i:=2 to n do
  begin
   if check[i]=false
   then begin inc(len); prime[len]:=i; end;
   for j:=1 to len do
    begin
     if prime[j]*i>n
     then break;
     check[prime[j]*i]:=true;
     if i mod prime[j]=0
     then break;
    end;
  end;
 for i:=1 to len do
  begin
   if s mod prime[i]=0
   then
    begin
     ans:=(ans div prime[i])*(prime[i]-1);
     while s mod prime[i]=0 do
      s:=s div prime[i];
    end;
  end;
 if s<>1
 then ans:=(ans div s)*(s-1); //1700016764
 writeln(ans);
end.

莫比乌斯函数

性质

• 对于任意正整数n有 ：
  ∑d|nμ(d)={10d=1d>1
• 对于任意正整数n有:
  ∑d|nμ(d)d=φ(n)n

O(N)求解1∼n的μ(i)表

const
 maxn=100000;
var
 check:array[0..maxn]of boolean;
 mu,prime:array[0..maxn]of longint;
 i,j,len,n:longint;
begin
 readln(n); mu[1]:=1; len:=0;
 for i:=2 to n do
  begin
   if check[i]=false
   then begin mu[i]:=-1; inc(len); prime[len]:=i; end;
   for j:=1 to len do
    begin
     if i*prime[j]>n
     then break;
     check[i*prime[j]]:=true;
     if i mod prime[j]=0
     then begin mu[i*prime[j]]:=0; break; end
     else mu[i*prime[j]]:=-mu[i];
    end;
  end;
 for i:=1 to n do
  writeln(i,' ',mu[i]);
end.

求解模方程组

中国剩余定理可以求解模数互质的情况,但根据ydc的课件,我们用其他方式合并

{x  mod  a1=b1x  mod  a2=b2

{x=a1∗x1+b1x=a2∗y1+b2

得到a1∗x1+b1=a2∗y1+b2

扩展欧几里得求出 x1
令 b=a1∗x1+b1  a=lcm(a1,a2)
然后我们合并为 x  mod  a=b

求逆元

求逆元的方法汇总