2011 ACM-ICPC 成都赛区解题报告

首先对F题出了陈题表示万分抱歉，我们都没注意到在2009哈尔滨赛区曾出过一模一样的题。其他的话，这套题还是非常不错的，除C之外的9道题都有队伍AC，最终冠军7题，与我们的预期非常接近。

 

Problem A: Alice and Bob 出题人：章雍哲

（特别感谢Evolution队对该题解法的贡献）

这道题正规的做法需要讨论各种情况：

1)       没有1的情形，很显然，只需讨论(sum+n)的奇偶性

2)       全1的情形，对1的数量模3进行讨论

3)       非全1的情形，记1的数量为n1，其他为n2

      a)   若有偶数个1，讨论(sum+n2)的奇偶性。

      b)   若有奇数个1，先手必胜，因为必可以转化成a)或1)的必败态

       c)    一个2带若干个1：这是本题的一个大trick，它的特殊性是可以直接转化为全1的情形，因此需要枚举一下当前的决策。

以上讨论忽略了不少细节，即每种情形下的必胜策略是什么，留给大家自己思考吧。

另一种做法：

其实比较容易猜到，大的数只和奇偶有关。于是按下列方法记状态dp即可AC：

Dp[1的数量][2的数量][3的数量][4的数量]

其中大于4的数按奇偶归类为3和4。

应该有不少队伍把4也归类为2去dp，这样是错的，因为在极端情况下，2和4并不等价，即上面提到的trick。这个trick其实给在样例里了。

 

Problem B: Break the Chocolate 出题人：曹雪智

第一问，一次掰一块巧克力，答案是a*b*c-1，因为每掰一次都让巧克力块数+1

第二问，以2为底取上整的[loga]+ [logb]+ [logc]。可以这么想：你把巧克力一切两半，把小的那块直接丢掉，只切大的。因为你用最少步数切掉大的那块时，把小的那块一按同样方式一并切也一定能切碎。这样对每个维度对半切一定是最优的方案。

 

Problem C: Construct the Great Wall 出题人：章雍哲

连通性状态压缩动态规划。

我们来把题意做个转换：N*M的网格中，有一些必须取的格子，一些不能取的格子。最后你要取一些格子，它们构成一个连通块，且不含空洞，求周长最小是多少。这里空洞表示了连通块的边界由不止一个简单多边形构成，是非法的。

一看就是个经典的状压dp，每行是用最小表示记的状态，按格转移。状态中包含：

1)       与边界连通的没有选的格子

2)       已选的格子（要最小表示记连通性）

3)       不与边界连通的没有选的格子（要最小表示记连通性），因为要防止空洞的出现

代码量应该要上200行，在可做题甚多的情况下应该没有队伍会去写吧。

P.S.据说中山大学Metalgarurumon最后在写C，差点写完，要orz一个。

 

Problem D: Disney’s FastPass 出题人：---

简单的状态压缩dp，每个必去的景点记0,1,2状态，分别表示已经游览过、没游览过但有票、没游览过且没票。dp的状态是dp[当前在哪个点][3^k每个景点状态]，沿着图上的边转移。一个点上可能有很多个景点，可以2^k转移，也可以每个点给自己连一条长度为0的边，然后一个一个转移下去。转移有环，需要用SPFA或者其他快速的最短路径算法来实现。

这题时限比较宽，用4^k表示每个景点状态似乎也能过。

 

Problem E: Eliminate the Conflict 出题人：---

可以转化为2-SAT问题求解

Alice每一轮的出法只有两种，这样建出了2*n个点，每一轮的两种出法只能二选一。而每一个规则可以在图上建立一些有向边，具体：建a->b的语义是如果a代表的节点被选，那么b节点也必须选。

建了图之后，求强连通分量，如果某一轮对应的两点在同一个强连通分量里，就不合法，否则一定能找出一种方案。

 

Problem F: Fruit Ninja 出题人：谭天

这题O(n^3)的做法很好想，枚举两圆求所有切线，拿切线O(n)check与多少圆相交。看了数据范围就应该明白，这种做法不能过这道题。

O(n^2logn)的做法就是先枚举一个圆，然后想象一条切线绕着它的圆周在转，扫过其他圆。其他每个圆在这条切线转动的过程中，会形成1-2个区间，当切线在该角度区间中是会穿过这个圆的。求出这些区间，排序+统计即可。

F题有个小trick，就是多个圆嵌套的情况。解决方法也很简单，枚举中心的圆的时候，先处理掉被它包含和它包含的圆，剩下的圆就正常做了。

数据用三个不同的代码对拍过，应该不会有精度问题。

 

另：

这道题我们暑假里就有了，当时谭天在百度之星无聊时YY了这个题，后来和我们讨论时，我想到以前割过CERC的某题，给一些点，求用一个给定半径R的圆最多能覆盖多少，做法是枚举点，让圆绕着点转，算其他点被圆覆盖的角度区间。于是联想到这题可以让切线绕着圆转，对其他圆也算出这么一个区间，然后排序统计就出来了。

我们其实也担心过，这么个感觉很经典的问题会不会哪里出出来过，后来只在Ural上找到一道用直线切点的题，做法也是让直线绕点转。我们想想只要不是原题就可以了，思路这个东西么，都是举一反三的，于是就把这题出在成都了。

今天在人人上看到ACMICPC主页君的状态，感觉太瞎了……交大在2009-2010赛季没有去哈尔滨，之后队内也从没拿那套题做过训练，于是导致了这样一个失误。

 

Problem G: GRE words 出题人：郭晓旭

建立所有单词的AC自动机，对于每个节点的转移，都是从parent[]或者从fail[]，fail[fail[]]，...得到的。可以看出fail[]的关系形成一棵树，于是问题转化成，不断在节点处插入，询问点到根路径上的最大值，可以利用dfs序列转化用线段树维护。

瞿钧提供了另外一个算法：

将所有单词连起来，做后缀数组，然后从后往前扫描每个串，找出它在SA数组中与它前缀相同的一个区间，对这个区间取max值+1。这个串做完后，再对SA数组中该串出现过的所有位置更新一下。用线段树能够O(logL)的时间找出区间边界、求区间最大值、更新。

总时间复杂度O(LlogL)。写了一个，比自动机做法略慢。

 

Problem H: Holiday’s accommodation 出题人：胡张广达

这道题前期就有大片队伍过了，有些出乎出题人的意料。我们原本的定位是一道需要动动脑子的中期题。

我们把每个点到另一个点的映射a->b看做是树上的一条路径。

首先有个显而易见的结论：这n条路径任意两条都相交（否则可证明不最优）。这个结论可以继续推广为：这n条路径都会交与某个点，这样我们找出这个点，然后将它与其他点的路径长度求和，乘2后输出即可。证明留给读者。

而仅仅用“任意两条路径都相交”其实就可以推出答案。枚举每条边e，这条边将树分割成A和B两个子树，那么这条边一共出现在2*min{|V(A)|,|V(B)|}的路径上。假设|V(A)|<=|V(B)|，考虑点数较小的那棵子树A，其中不可能存在一条不经过e的路径，否则，此时的B中一定也存在一条不经过e的路径，那么这两条路径不相交，显然不是最优。而2*min{|V(A)|,|V(B)|}容易证明是一个上界。

 

Problem I: Isabella’s message 出题人：章雍哲

除了题目描述比较长之外，本质就是一个水模拟。

 

Problem J: Ji-Tu Problem 出题人：章雍哲

（感谢各种人写标程，做数据@谭天@曹雪智@商静波@缪沛晗）

这道题是个可做题，细节很多，需要很细致的讨论。赞南京大学Heracles队，全场唯一的AC。

题解好难写@.@，等我之后update吧~~

这里给几个tricky的数据（当然trick还不止这些），大家可以先看看是自己否漏考虑了情况。

3 2

60 30 15 (多解)

3 2

44 22 11 (唯一)

5 1

16 11 (唯一)

据现场回来的judge说，有些队就错了要判素数的点，有些可惜啊。

 

最后，代表出题组：

感谢Seraphim为我们检验算法和数据

感谢不少已退役的学长为我们修改题面，提出宝贵意见

感谢刘思壮为我们提供了一个漂亮的tex模板

感谢参与验题赛的队伍和同学Epic，Evolution，Hurricane，任春旭

感谢俞勇教练，感谢ACM竞赛组委会，给我们一次激动人心的出题机会

感谢国家

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