深度学习之梯度检验与高级优化

反向传播算法很难调试得到正确结果，尤其是当实现程序存在很多难于发现的bug时。举例来说，索引的缺位错误（off-by-one error）会导致只有部分层的权重得到训练，再比如忘记计算偏置项。这些错误会使你得到一个看似十分合理的结果（但实际上比正确的结果要差）。因此，但从计算结果上来看，我们很难发现代码中有什么东西遗漏了。本节中，我们将介绍一种对求导结果进行数值检验的方法，该方法可以验证求导代码是否正确。另外，使用本节所述求导检验方法，可以帮助你提升写正确代码的信心。

缺位错误（Off-by-one error）举例说明：比如for 循环中循环m次，正确应该是for (i=1;i<=m;i++)，但有时程序员疏忽，会写成for(i=1;i<m;i++)，这就是缺位错误。

假设我们想要最小化以 θ 为自变量的目标函数 J(θ) 。假设 :ℜ↦ℜ ，则 θ∈ℜ 。在一维的情况下，一次迭代的梯度下降公式是

θ:=θ−αddθJ(θ).

再假设我们已经用代码实现了计算 ddθJ(θ) 的函数 g(θ) ，接着我们使用 θ:=θ−αg(θ) 来实现梯度下降算法。那么我们如何检验 g 的实现是否正确呢？
回忆导数的数学定义：

ddθJ(θ)=limϵ→0J(θ+ϵ)−J(θ−ϵ)2ϵ.

那么对于任意 θ 值，我们都可以对等式左边的导数用：

J(θ+EPSILON)−J(θ−EPSILON)2×EPSILON

来近似。

实际应用中，我们常将 EPSILON 设为一个很小的常量，比如在 10−4 数量级（虽然 EPSILON 的取值范围可以很大，但是我们不会将它设得太小，比如 10−20 ，因为那将导致数值舍入误差。）

给定一个被认为能计算 ddθJ(θ) 的函数 g(θ) ，我们可以用下面的数值检验公式

g(θ)≈J(θ+EPSILON)−J(θ−EPSILON)2×EPSILON.

计算两端是否一样来检验函数是否正确。

上式两端值的接近程度取决于 J 的具体形式。但是在假定 EPSILON=10−4 的情况下，你通常会发现上式左右两端至少有4位有效数字是一样的（通常会更多）。

现在，考虑 θ∈ℜn 是一个向量而非一个实数（那么就有 n 个参数要学习得到），并且 J:ℜn↦ℜ 。在神经网络的例子里我们使用 J(W,b) ，可以想象为把参数 W,b 组合扩展成一个长向量 θ 。现在我们将求导检验方法推广到一般化，即 θ 是一个向量的情况。
假设我们有一个用于计算 ∂∂θiJ(θ) 的函数 gi(θ) ；我们想要检验 gi 是否输出正确的求导结果。我们定义 θ(i+)=θ+EPSILON×e⃗ i ，其中

e⃗ i=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢00⋮1⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

是第 i 个基向量（维度和 θ 相同，在第 i 行是“1”而其他行是“ 0”）。所以， θ(i+) 和 θ 几乎相同，除了第 i 行元素增加了 EPSILON 。类似地， θ(i−)=θ−EPSILON×e⃗ i 得到的第 i 行减小了 EPSILON 。然后我们可以对每个 i 检查下式是否成立，进而验证 gi(θ) 的正确性：

gi(θ)≈J(θ(i+))−J(θ(i−))2×EPSILON.

当用反射传播算法求解神经网络时，正确算法实现会得到：

∇W(l)J(W,b)∇b(l)J(W,b)=(1mΔW(l))+λW(l)=1mΔb(l).

以上结果与反向传播算法中的最后一段伪代码一致，都是计算梯度下降。为了验证梯度下降代码的正确性，使用上述数值检验方法计算 J(W,b) 的导数，然后验证 (1mΔW(l))+λW 与 1mΔb(l) 是否能够给出正确的求导结果。

迄今为止，我们的讨论都集中在使用梯度下降法来最小化 J(θ) 。如果你已经实现了一个计算 J(θ) 和 ∇θJ(θ) 的函数，那么其实还有更精妙的算法来最小化 J(θ) 。举例来说，可以想象这样一个算法：它使用梯度下降，并能够自动调整学习速率 α ，以得到合适的步长值，最终使 θ 能够快速收敛到一个局部最优解。还有更妙的算法：比如可以寻找一个Hessian矩阵的近似，得到最佳步长值，使用该步长值能够更快地收敛到局部最优（和牛顿法类似）。此类算法的详细讨论已超出了这份讲义的范围，但是L-BFGS算法我们以后会有论述（另一个例子是共轭梯度算法）。你将在编程练习里使用这些算法中的一个。使用这些高级优化算法时，你需要提供关键的函数：即对于任一个 θ ，需要你计算出 J(θ) 和 ∇θJ(θ) 。之后，这些优化算法会自动调整学习速率/步长值 α 的大小（并计算Hessian近似矩阵等等）来自动寻找 J(θ) 最小化时 θ 的值。诸如L-BFGS和共轭梯度算法通常比梯度下降法快很多。

注：本文参考UFLDL教程