Yale开放课程博弈论12

进化稳定与社会公约、侵略和周期 Evolution of Social Convention

靠左或靠右行驶（Driving on L or R）都是进化的结果

结论：可以有很多种进化稳定的社会传统存在，这些习惯没有必要一样好。老师可能觉得大家都靠左行驶比大家都靠右行驶更高效，但实际上就是存在很多靠右行驶的社会传统，即进化稳定的结果并不是要得到一个高效的。

 

第二个例子的收益矩阵与性别大战的类似，可以这样解释，一条单行道，两边的车需要从此处通行，每个人的策略可以是进攻或者仁慈。可以想象结果是只有一者进攻一者仁慈才会有收益。

这里没有对称纯策略的纳什均衡，因此我们需要考虑混合策略。

计算后可以得到混合策略的纳什均衡[(2/3, 1/3)，(2/3, 1/3)]，即可以解释为2/3的好斗基因，1/3的仁慈基因。

混合纳什均衡中的策略不是严格的纳什均衡。

 

对应博弈论中的纯策略纳什均衡与混合策略下的纳什均衡，生物界的物种可以分为单型物种与多态物种来考虑。

 

自然界中混合策略意味着什么？

自然界中均衡的种群并不是全部一样，而可以是不同的类型以一定的比例均衡存在着。例如一个成功的雄性海象，具有巨型的身体，称为首领就可以拥有非常多的雌性海象。而其他身材比较弱小的海象为了将基因遗传下去，会发生突变使得自己长得像雌性海象，这样就可以侵入到雄性海象的领域，与其中的一部分雌性海象交配。这两种海象是可以以一定的比例同时存在的。

 

第三个例子是鹰鸽之战（Hawk and Dove）

	H	D
H	(V-C)/2,(V-C)/2	V,0
D	0,V	V/2, V/2

其中C表示争斗的代价，H和D分别代表鹰和鸽。

D是ESS吗？首先看（D，D）是否为纳什均衡，不是，当其中出现鹰体的突变后，存在优势，鹰数目会增加。

H是ESS吗？同样先看（H，H）是否为纳什均衡？当(V-C)/2至少为0，即V≥C时，H是ESS。

1）  若V > C，（H，H）是严格纳什均衡；

2）  若V=C，u(H, H) =u(D, H)，我们需要再比较鹰派对鸽派的收益与鸽派对鸽派的收益，u(H, D)>u(D, D)

 

但是，当C>V时，H和D都不是ESS，此时唯有混合策略P可能是一个稳定情况。

首先，找到一个对策的混合纳什均衡策略(p,1-p)=(V/C, 1-V/C)。

混合纳什均衡不是严格纳什均衡，还需要对任意的突变P’有P对P’的收益是否大于P对P的收益。检查可以看到不管是一个相对好斗的突变还是一个相对温和的突变，最终都会灭绝。

所以混合策略P是一个稳定的情况。

综上所述，不管怎么改变参数，都不存在D是进化稳定策略。即自然界中不可能存在不斗争的情况。

 

结论：

如果V<C，那么进化稳定的种群中鹰的数量是V/C；

a) 随着V增加，鹰派的数目会增加（ESS中）；当C不断增加，鸽派会增加（ESS中）。

b) 关于收益（各个物种的遗传适应度），鸽派的收益(1-V/C)*(V/2)，当C增加时，收益变大；

当争斗代价C增加，损失应该更大，但是总体上争斗会减少，反而使得收益变大。

c) 认证（identifiable），我们可以通过数据得到V/C的比例，理论解释现象，但我们更希望它能够预测未知。

 

最后一个例子是有点复杂的博弈（类似石头剪刀布，抓咬踩scratch bite trample）

对于这个例子唯一可能成为进化稳定策略的是混合策略(1/3, 1/3, 1/3)，虽然它是纳什均衡，但是并不是进化稳定的。即这个例子中没有进化稳定策略。

 

而这在自然界中又意味着什么呢？

不断循环，这对生物学家相当于黑洞。