Yale开放课程博弈论16
16. 落后的感应------声誉与决斗
回顾上节课最后的例子，垄断者与欲进入市场者的博弈，经过我们的分析可以得到2个纳什均衡(in, NF)和(out, F)，下面我们来做个游戏：
现在假设埃里同学有家连锁的匹萨店垄断着市场，另外10个同学都伺机进入该市场，老师依次问这10个同学选择是否进入市场，然后问埃里是否会对他们进行打击。结果是1选择进入，被打击；2、3、4、5、6选择不进入，7、8选择进入均被打击，9、10都选择不进入。
实际上如果10选择进入的话，埃里是不会打击的。
上节课中在单个市场上分析，每个公司都应该进入，但是第一个进入市场的埃里会选择攻击，这样之后的可能就不敢进入了。
但是这里有个问题，这是一个序贯博弈（信息完整的），我们可以采用逆向归纳法进行分析：对于最后一个进入者，埃里是不会攻击的，因为后面没有人了，他已经没有建立威胁的动机了；而对于倒数第二个进入者，他应该进入，埃里按道理是不会攻击的，因为第十位进入者无论如何埃里都不会打击，这里也没有建立威胁的动机了；……；这样依次往前推，我们发现这10个同学都应该选择进入。
假设埃里有百分之一的概率是好斗的人，只有一个市场，根据收益看他可能不会攻击，但是十个就不一样了。一旦前面有人进入市场后被攻击，后来者就会放大埃里好斗的概率。所有这一切都是小小的可能性导致的。
假设埃里有百分之一的概率是好斗的人，他就可以以疯狂的名义吓退进入者，即使他是一个冷静理性的人，他也会装疯。这种情况可以采用混合均衡来考虑。
这就是有名的连锁店博弈（理论来自诺贝尔获得者谢尔顿）。
结论：
1. 即使是一个很小的概率，小小的可能会彻底改变博弈的结果
2. 关于声望的问题。
人质解救谈判，你一定不要和绑架者谈判，因为一旦这个绑架者谈判成功，社会上会有更多的绑架者。
预测下次有人在博弈论方面获得诺贝尔奖应该是关于声望的。
接下来玩个游戏，游戏规则：两个参与者面对面在一定距离的位置站好，每人一个海绵块，每次可以选择向对手扔海绵或者向前走一步。每个人只有一个海绵，扔了之后就没了，若扔了之后击中对方，则赢得比赛，没中则游戏继续。
这个博弈叫决斗Duel
类似的还有环法自行车比赛中，超车的时机选择。两家公司研发同一产品，市场只能容纳一个，面世太早，可能不能正常运行，太晚，市场又会被占有，如何选择面世时机？
这里的决策不再是我该怎么做，而是何时去做。
Pi[d]表示选手i在距离d时击中对手的概率，假设距离为0时击中概率为1，距离越远，击中的概率越低。每位参与者不仅知道自己在每个点击中对方的概率，也知道对方在每个点击中自己的概率。假设选手1在每个距离击中的概率都比选手2高一点点。（概率曲线图略）
那么我们来猜测一下两个选手究竟谁会先出手？
两种观点
1： 选手1该先出手，因为距离相同时他击中的概率更高；
2： 选手2该先出手，因为他知道选手1击中的概率，所以会在1出手前先出手；
这里我们利用两个论点：优势策略和逆向归纳法，进行分析。
事实A：假设还没有人投出，如果选手i知道在d点j不会投出，下一轮他会更近，那么他不该投出海绵（下一轮游戏不会结束且自己会有更好的机会）。
如果选手i在d点知道j接下来会在d-1点投出海绵，那么如果他在d点的击中率（Pi[d]）大于或等于j下一轮在d-1点的失误率（i选手wait的话赢得的概率1-Pj[d-1]），即Pi[d]+Pj[d-1]≥1，他该投出海绵。
我们可以在两个参与者投中的概率曲线图中，从距离d往0移动，找到第一个满足上式的d*。则在大于d*时两人都是不会投出，因为再等一轮对自己更有利（优势策略），而当距离小于d*时，两人的选择应该都是会投出。
但是在d*点的时候，我们并不清楚两个参与者是怎么想的。
接下来看看逆向归纳法，在零距离的时候，1号肯定会选择投出；
在距离1时，2号认为1号在0位置的时候会投中自己，所以2号会投出；
在距离2时，应该投出（前提是满足上面的公式）；
以此类推，在d*点无论是谁都应该投出。
假设两个参与者中一个是理性的，一个不是，即在他可能在你认为他不可能投出海绵的时候投出。结果应该怎样？不应该在d*之前，因为对自己而言在d*之前失手的概率更大。
可是现实中很多次进行这个游戏，大家都因为投的太早而输掉比赛，为什么我们看到了这么多的失误？
其一是人们过于自信，其二美国人有先下手为强的思想。
这里老师讲了一句道理：The aim in life is not to go down swinging, it's not to go down. So one lesson to get from this lecture is sometimes waiting is a good strategy.