Yale开放课程博弈论22
22. 作弊、惩罚和外包
假设我和杰克进行持续的交易，我给他提供水果，他给我提供蔬菜。
按照上节课讲的扳机策略，一旦我背叛他，那么在之后的交易中他会一直背叛我。
那么对于今天我是选择合作还是欺骗？有下面这样一个公式：
今天我欺骗杰克的动机小于 （明天我和杰克合作的前景）-(明天杰克欺骗我的惩罚)
gain if cheat today ≤ （value ofrelationship after "corperation"） - (value ofrelationship after "cheating")
我们重新考虑重复囚徒困境问题，每次继续进行下去的概率是d
上面不等式的左边为诱惑（选择欺骗比选择合作多得的收益）：3-2 = 1
右边为惩罚：（C表示合作，D表示背叛）
(value of (C,C) forever) – (value of (D,D)forever)
=(value of 2 forever) - (value of 0forever)
=2+2d+2d^2+... = X = 2 /（1-d）
可是上面左边的是今天的诱惑，右边是明天的惩罚，可是明天可能我们的关系已经不存在了，所以右边还需要再乘以d，即有1≤2d/(1-d)，得d≥1/3。
如果delta<1/3，那么第一轮就会选择策略D，可是按照之前的策略，之后的所有博弈我将选择D，这样收益全是0，为什么我还要这样做呢，为什么选择了D之后不能再选择C呢？
现在我们来考虑如果我选择D之后选择C策略，对手则在第一轮选择C，看到我第一轮选择D之后其他几轮全部选择D：
(D,C)(C,D)(D,D)(D,D)
我的总收益是3-d，如果按照之前的策略第二轮我还是该选择D，这个时候我的总收益是3。
如果是在第二回合欺骗，而不是第一回合又会怎样呢？其实从第二回合开始看，跟上面是一样的。
如果delta大于1/3，这么做就无利可图，因为通过选择C可以促成之后的合作。
通过扳机策略在囚徒困境中能促成合作，条件是博弈进行下去的概率≥1/3
结论：如果这段关系有较大的概率持续下去，那么它能够促成今日的善行。
因为你们之间关系继续的概率，是你给未来赋予的加权。
已经大四的同学找到另一半的，如果将来双方要去不同的城市工作，也就是异地恋，根据社会学的统计他们间的关系持续下去的概率会降低。
也就是说在大四最后一段时间，他们可能会选择欺骗。
但是，在现实生活中扳机策略还有劣势，因为它会因一些特别小的失误而反应过激。比如说我和杰克进行持续的交易，某一天我忘带眼镜不小心给了他一个烂苹果，按照这个策略，在之后的交易里他将一直背叛我。
所以我们接下来设计在一个回合内的惩罚措施。
修正策略为：一开始选择策略C，如果上回合是（C,C）或（D,D）则选择C；否则选择D。
这样的话，如果某次我失误地选择了D，则下一次我们都选择D，然后下下次我们都会选择C，从而通过一个(D,D)的回合回到了正常的状态。
对于新的策略，我们再来看看上面的那个不等式：
(3-2) ≤ (value of 2 forever)– (value of 0 tomorrow and value of 2 forever from the next day)
1 ≤ 2d/(1-d) * (1-d) = 2d
d≥1/2
也就是说想要惩罚宽松点，我们需要更高的d。如果你希望惩罚措施别太严格，只要未来的加权d更大。
下面看一个实例，重复的道德风险问题。
弗里多尼亚市场价格为1，我要在那里做投资(成本1)，请了一个代理人帮忙，给代理的工资是w，如果成功的话净收益是3，但是代理人可能会欺骗你。
如果你不选择投资，那么自己的收益是0，代理人的收益是1（他可以找一份其他工作，获得市场价格1）。
如果你选择投资，代理人诚实的话，双方的收益分别为3-w,w。
如果你选择投资，代理人背叛的话，双方的收益分别为-1和2（他干回老本行的工资是1，还骗走了你投资的1）。
那么，我要付代理人多少钱才能办成这件事？
如果w=1和市场价格一样，代理人会欺骗。
均衡情况下，应该设定w* = 2 。
新兴市场的额外工资(wage premium) 是100%。
上面是一次性外包投资，下面来看一个长期的投资。
假设重复相互作用的概率是d，工资w**该怎么定呢？
欺骗的收益是2-w**
2-w** ≤ d*[(value of w**forever) – (value of 1 forever)]
w**≥ 2(1-d)+d
当d = 0时，w**=2 one-shot wage
当d = 1时，w**=1 ongoing wage
当d = 1/2时，w** = 1.5，奖励工资只有50%
总结：如果希望在持续关系中今天能够促成善行，那么明天一定要有奖赏，如果明天继续的概率不是很大，那么奖励就要更多。