并查集

等价关系与等价类

从数学上看，等价类是一个对象(或成员)的集合，在此集合中的所有对象应满足等价关系。若用符号"≡"表示集合上的等价关系，那么对于该集合中的任意对象x,y, z，下列性质成立：

1、自反性：x ≡ x

2、对称性：若 x ≡ y 则 y ≡ x

3、传递性：若 x ≡ y 且 y ≡ z 则 x ≡ z

因此，等价关系是集合上的一个自反、对称、传递的关系。

通过金属线连接起来的电器的连通性，就是一种等价关系。这种关系显然具有自反性，因为任何一个器件都是与自身连通的；如果a 电连通b，那么b一定也电连通a，因此这种关系具有对称性； 若a连通到b，并且b连通到c，那么a连通到c 。

并查集

并查集的一般用途就是用来维护某种具有自反、对称、传递性质的关系的等价类。并查集一般以树形结构存储，多棵树构成一个森林，每棵树构成一个集合，树中的每个节点就是该集合的元素，找一个代表元素作为该树(集合)的祖先。

并查集支持以下三种操作：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，只要找到这个元素所在集合的祖先即可。判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：首先设置一个数组Father[x]，表示x的"父亲"的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合的祖先，将另外一个集合的祖先指向它。

并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？

答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回归"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了。

2、Union(x,y)时 按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

主要代码实现

/* father[x]表示x的父节点 */
int father[MAX];
/* rank[x]表示x的秩 */
int rank[MAX];

/* 初始化集合 */
void Make_Set(int x)
{
	father[x] = x;
	rank[x] = 0;
}

/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径 */
int Find_Set(int x)
{
	if (x != father[x])
	{
		father[x] = Find_Set(father[x]);
	}
	return father[x];
}

/* 按秩合并x,y所在的集合 */
void Union(int x, int y)
{
	x = Find_Set(x);
	y = Find_Set(y);
	if (x == y) return;
	if (rank[x] > rank[y])
	{
		father[y] = x;
	}
	else
	{
		if (rank[x] == rank[y])
		{
			rank[y]++;
		}
		father[x] = y;
	}
}

附一道并查集的POJ题的代码，用的是带权并查集，看了半个晚上，有了基本的头绪，还需要在理一理。暂且贴出来。

#include <stdio.h>
 
/* father[x]表示x的根节点 */
int father[50005];
 
/*
rank[x]表示father[x]与x的关系
rank[x] == 0 表示father[x]与x是同类
rank[x] == 1 表示x吃father[x]
rank[x] == 2 表示father[x]吃x
*/
int rank[50005];
 
/* 初始化集合 */
void Make_Set(int x)
{
	father[x] = x;
}
 
/* 查找x所在的集合 */
int Find_Set(int x)
{
	int t;
	if (father[x] == x) return x;
	t = father[x];
	father[x] = Find_Set(father[x]);
	/* 因为压缩时根节点改变，必须更新father[x]与x的关系 */
	rank[x] = (rank[t] + rank[x]) % 3;
	return father[x];
}
 
/* 合并a和b */
void Union_Set(int a, int b, int len)
{
	int ra = Find_Set(a);
	int rb = Find_Set(b);
	/* 将集合ra合并到集合rb上 */
	father[ra] = rb;
	/* 更新father[ra]与ra的关系 */
	rank[ra] = (rank[b] - rank[a] + 3 + len) % 3 ;
}
 
int main()
{
	int i, n, m;
	int d, x, y;
	int rx, ry;
	int sum = 0;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		Make_Set(i);
	}
	while(m--)
	{
		scanf("%d%d%d", &d, &x, &y);
		if (x > n || y > n || (d == 2 && x == y))
		{
			sum++;
		}
		else
		{
			/* 求出x和y所在的集合rx和ry */
			rx = Find_Set(x);
			ry = Find_Set(y);
			/* 若在同一个集合则可确定x和y的关系 */
			if (rx == ry)
			{
				if((rank[x] - rank[y] + 3) % 3 != d - 1)
				{
					sum++;
				}
			}
			/* 无法确定关系时按照规则合并节点 */
			else
			{
				Union_Set(x, y, d - 1);
			}
		}
	}
	printf("%d\n", sum);
	return 0;	
}