求幂集的算法

昨天看到有人在TL里说一个面试题 ： 不用递归法 求一个固定集合内的所有子集。经 @miloyip 指出，这是个power set 的问题，在中文中称为幂集。这个中学数学里就学过了，不过如何用计算机求幂集还真没考虑过，就索性找了找求幂集的算法。根据wiki上的介绍和我自己的理解（ http://en.wikipedia.org/wiki/Power_set ），给定一个包含n个元素的集合s，我用python实现了三种计算幂集的算法。如果没有额外说明，下文中的 union表示取两个集合的合集。

 

1. 利用二进制数与幂集之间的对应关系

在[0,2^(n-1)]的整数区间上任取一个值x，x的二进制表示可以用来表示s的一个子集：对于x的第i位，如果为1，则此子集包含s的第i个元素，否则不包含。因此，只要遍历 [0,2^(n-1)]的整数区间，就能列举出s的所有子集，这些子集的集合就是s的幂集。这个方法陈硕老大也指出来了。代码如下：

def power_set(s): n = len(s) test_marks = [ 1<<i for i in range(0, n) ] for k in range(0, 2**n): l = [] for idx, item in enumerate(test_marks): if k&item: l.append(s[idx]) yield set(l) #A simple test def __test__(): s = [1,2,3,4] for e in power_set(s): print e __test__()

 

2. 递归计算和一个改进的非递归算法

wiki上给出了一个递归的算法，大致思想是先取出s中的一个元素e，然后求s中其他元素组成的集合的幂集，再把e与求出的幂集中的每个结合进行组合求合集，因此能列举出所有可能的子集。这个算法在列举过程中某些子集可能会重复出现，因此我没有用yield，而是直接返回了一个list。代码如下：

#simply add a set s to list l, with duplicate check def add_set_to_list(l, s): if s not in l: l.append(s) #F(e, T) = {x union {e} | x belongs to T} def F(e, T): l = [] add_set_to_list(l, e) for x in T: y = e | x add_set_to_list(l, y) return l def power_set(s): l = [] if not s: #empty set l.append(set()) return l for e in s: es = set((e,)) t = s - es s2 = power_set(t) for i in s2: add_set_to_list(l, i) for i in F(es, s2): add_set_to_list(l, i) return l

 

上面这个算法有两个缺点：一是计算过程中会重复生成某些集合，因此 有重复计算，二是它是递归的，效率上可能不高。经过与 @GiantIron 讨论，得到了一种非递归算法，思想跟上面的递归算法类似，但又有区别，而代码要简单得多。非递归算法的数学描述如下：

给定一个集合s，它的幂集表示为P(s), 则对于一个元素e, P( s union {e} } = P(s) union F(e, P(s))。直观地说，已知集合s和它的幂集P(s)，如果往s中加入一个新元素e，则形成的新的集合的幂集是 P(s) 和 F(e, P(s)) 的合集。其中F()函数在递归算法的实现中已经给出。上述描述其实跟递归算法中类似，但是我们可以利用这个关系来增量地计算，而不用递归。

 

代码如下，l用来保存增量计算出来的幂集，由于后续计算依赖于之前计算的结果，这里也没有用yield，直接返回一个list。因为这个计算过程中不会出现重复的子集，所以直接用list.extend()代替了取合集(union)的操作。同样，在递归算法中的F()函数的实现中有检查是否是重复元素的操作，而在这里其实是不必要的：

def power_set(s): l = [set(),] for e in s: l.extend(F(set((e,)), l)) return l

 

3.  s的幂集 = { subsets(s, k) |  k=0, 1, 2, ..., n}

其中subsets(s,k)表示s所有模为k的子集，即 包含k个元素。这个关系是显而易见的。因此只要求出subsets(s,k)，幂集也就很容易了。求subset(s,k)的代码我没有自己写，在这里 有一个实现，也是递归的，它利用了幂集与二项式系数之间的关系以及帕斯卡法则 （其实跟杨辉三角所描述的关系是一样的），显得很优美。代码如下，其中k_subsets(s,k)是别人实现的subsets(s,k)的函数。

def power_set(s): for k in range(0, len(s)+1): for k_set in k_subsets(s,k): yield k_set

 

除此了上述方法外，陈硕老大也介绍了用stl的next_permutaion()来生成组合数（链接 ），进而求幂集。我觉得这个方法跟上述第三种方法有相似的地方，都是利用了组合与幂集之间的关系，不过生成组合的方法不一样。我相信还有更多的方法可以解决这个问题。

 

解决同一个问题可以有很多种方法，而看似简单的一个问题，真正要正确地解出来也不是那么容易。由于python本身提供了对set的支持，实现幂集也轻松了很多。不过set对象本身不能作为set的元素，这一点有待推敲，我对python也不是太熟悉。