离散傅里叶变换

引言

设函数 f(x) 在区间 [0,2π) 上 n 个等分点 xk=2πk/n （ k=0,1,…,n−1 ）上的值 fk=f(xk)=f(2πk/n) （一般为复数）为已知。在本文中，我们令 i2=−1 。

插值问题：用周期函数

{eijx=cosjx+isinjx}j=0,1,…,n−1

的线性组合

P(x)=∑j=0n−1cjeijx

作为 f(x) 在这区间上的三角函数插值，即求系数 cj ，使得

fk=∑j=0n−1cjei2jkπn,k=0,1,…,n−1

离散傅里叶变换

以上插值问题在理论上容易求解，因为它等价于求解线性方程组

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1⋮11ei2πn⋮ei2kπn⋮ei2(n−1)πn⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ei2jπn⋮ei2jkπn⋮ei2j(n−1)πn⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ei2(n−1)πn⋮ei2(n−1)kπn⋮ei2(n−1)2πn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜c0c1⋮cj⋮cn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜f0f1⋮fk⋮fn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

记系数矩阵为

F−1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1⋮11ei2πn⋮ei2kπn⋮ei2(n−1)πn⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ei2jπn⋮ei2jkπn⋮ei2j(n−1)πn⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ei2(n−1)πn⋮ei2(n−1)kπn⋮ei2(n−1)2πn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

（注：由于这个矩阵对应于傅里叶逆变换，因此记为逆的形式。）显然，系数矩阵 F−1 是一个对称的范德蒙德(Vandermonde)矩阵。

性质1 以上系数矩阵的行（或列）向量具有如下的正交性：

∑j=0n−1ei2jkπn⋅e−i2jlπn={n,0,当k=l当k≠l

由性质1可知，

F=1n⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1⋮11e−i2πn⋮e−i2jπn⋮e−i2(n−1)πn⋯⋯⋱⋯⋱⋯1e−i2kπn⋮e−i2kjπn⋮e−i2k(n−1)πn⋯⋯⋱⋯⋱⋯1e−i2(n−1)πn⋮e−i2(n−1)jπn⋮e−i2(n−1)2πn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

从而得到

cj=1n∑k=0n−1fke−i2jkπn,j=0,1,…,n−1

习惯上，由 {fk} 求 {cj} 的过程称为 f(x) 的离散傅里叶变换（也称 {cj} 是 {fk} 的离散傅里叶变换），而由 {cj} 求 {fk} 的过程称为离散傅里叶逆变换。用上面公式计算傅里叶变换的计算复杂度为 O(n2) 。另外，应该注意到， F （或 F−1 ）的 n2 个元素 e−i2kjπn （或 ei2jkπn ）中，实际上只有 n 个不同的值。这是下面进行快速傅里叶变换的基础。

性质2（Parseval等式）

∑j=0n−1|cj|2=1n∑k=0n−1|fk|2

快速傅里叶变换

在这一节，我们假设 n=2t ， t 为正整数。令 ω=e−i2πn ，则 ωn=1 。离散傅里叶变换需要计算

⎛⎝⎜⎜⎜⎜c0c1⋮cn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟=F⎛⎝⎜⎜⎜⎜f0f1⋮fn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟

即

cj=1n∑k=0n−1fkωjk,j=0,1,…,n−1

基本原理：根据 ω 的周期性（即 ωn=1 ），合并上式中的同类项，将 n 个乘积的和转化为 n/2 个乘积的和，从而提高计算的速度。快速傅里叶变换的计算复杂度为 O(nlog2n) 。

为了简化后面的讨论，我们记 ak=fkn （ k=0,1,…,n−1 ），以及

Fk,ω=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1⋮11ω1⋮ωj⋮ω(n−1)⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ωk⋮ωjk⋮ω(n−1)k⋯⋯⋱⋯⋱⋯1ωn−1⋮ωj(n−1)⋮ω(n−1)2⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

则离散傅里叶变换转化为计算

⎛⎝⎜⎜⎜⎜c0c1⋮cn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟=Fk,ω⎛⎝⎜⎜⎜⎜a0a1⋮an−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟

计算过程

分别考虑 cj 的下标 j 是偶数和奇数的情况：

• 当 j=2l 时
  

  c2l==∑k=0n−1akω2lk=∑k=0n2−1akω2lk+∑k=n2n−1akω2lk∑k=0n2−1akω2lk+∑k=0n2−1an2+kω2l(n2+k)
  
  由 ω2l(n2+k)=ωnl⋅ω2lk=1⋅ω2lk=ω2lk ，上式转化为
  
  c2l=∑k=0n2−1akω2lk+∑k=0n2−1an2+kω2lk=∑k=0n2−1(ak+an2+k)ω2lk

• 当 j=2l+1 时
  

  c2l+1=∑k=0n−1akω(2l+1)k=∑k=0n−1(akωk)ω2lk
  
  我们将上式中的 akωk 看作一个整体，则转化为偶数情况。从而得到
  
  c2l+1=∑k=0n2−1(akωk+an2+kωn2+k)ω2lk
  
  由 ωn2+k=ωn2⋅ωk=−1⋅ωk=−ωk ，上式转化为
  
  c2l+1=∑k=0n2−1(akωk−akωk)ω2lk=∑k=0n2−1[(ak−an2+k)ωk]⋅ω2lk

综上，我们得到

c2lc2l+1==∑k=0n2−1(ak+an2+k)ω2lk∑k=0n2−1[(ak−an2+k)ωk]⋅ω2lk

令 ω1=ω2 ，则 ωn21=1 。记 b(0)k=ak+an2+k ， b(1)k=(ak−an2+k)ωk 。则上面的两个式子化为

c2l=∑k=0n2−1b(0)kωlk1,c2l+1=∑k=0n2−1b(1)k⋅ωlk1,l=0,1,…,n2−1

从而得到两个离散傅里叶变换。记

Fk−1,ω1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⋮11ω11⋮ω(n2−1)1⋯⋯⋱⋯1ωn2−11⋮ω(n2−1)2⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

则两个两个离散傅里叶变换分别为

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜c0c2⋮c2(n2−1)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜c1c3⋮c2(n2−1)+1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟==Fk−1,ω1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜b(0)0b(0)1⋮b(0)n2−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟Fk−1,ω1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜b(1)0b(1)1⋮b(1)n2−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

由于 n2=2k/2=2k−1 ，我们可以递归地使用前面的过程完成计算。这种计算 cj 的过程称为 快速傅里叶变换。

计算复杂度

假设离散傅里叶变换需要 Mk 次乘法和 Ak 次加法。从 2k 个数据的傅里叶变换转换为两个 2k−1 个数据的傅里叶变换，需要额外的 2k−1 个乘法和 2k 个加法，因此，我们得到递推关系

MkAk==2Mk−1+2k−12Ak−1+2k

由 M0=0 和 A0=0 ，得到

Mk=k⋅2k−1=12nlog2n,Ak=k⋅2k=nlog2n

关于 ωk 的计算
在作快速傅里叶变换时，（在额外的乘法运算中）要用到

ωk=e−i2kπn=cos2kπn−isin2kπn,l=0,1,…,n2−1

我们可以用如下步骤计算 ck=cos2kπn 和 sk=sin2kπn 。
步骤1：令 c0=1 和 s0=0 ；
步骤2：用标准库函数计算出 c1=cos2πn 和 s1=sin2πn ；令 k=1 ；
步骤3：计算 ck+1=ckc1−sks1 和 sk+1=skc1−cks1 ；令k=k+1，重复步骤3。

实验代码（待补充）