HDU 2045 LELE的RPG难题
原题:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2045
分析:
这是一道排列计数问题。题目给的限制是“任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色”，是一个简单的限制。所以。我们考虑使用递推求解。下面来分析一下这题的递推公式。满足条件的情况下，我们设f(n)=m。
最直接的思路就是枚举第n格的涂法，分情况讨论，如下：
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| | | | …… | | | R |
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1 2 3 n-2 n-1 n
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| | | | …… | | P | R |
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1 2 3 n-2 n-1 n
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| | | | …… | | G | R |
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1 2 3 n-2 n-1 n
我们发现，对于第n格取“R”的情况。第1格和第n-1格只能取“P”或“G”。在格数为n的情况下，第n格的取法影响了第1格和第n-1格的取法。此种情况下1到n-1格的取法不等于f(n-1)。没有明显的子结构。所以，我们逆向思考，尝试从n-1格的情况推出n格的情况。
f(n-1)
/ /
/ /
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| | | | …… | | | + | |
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1 2 3 n-2 n-1 n
扩展第n格时。由于，第1格要和第n-1格不同，也要与第n格不同。也就是说，第1、n-1、n互不相同。那么，此种情况下第n格只有1种涂法。涂法数为f(n-1)*1，也就是f(n-1)。
事情到此结束？其实没有。我们发现，限制条件中有“首尾两格也不同色”。那么n-1格扩展到n格这种方式，是否影响了原来做为最后一格的n-1格？很明显的，第n-1格和第1格的限制解除了。所以，n格的情况下，1到n-1格还可以不“合法”。前面，我们只是讨论了“合法”的情况下，从n-1格扩展到n格。那n-1格“不合法”的情况下，扩展到n格又符合什么规律？如下：
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| x | | | …… | | x | + | | (x代表RPG其中之一)
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1 2 3 n-2 n-1 n
为使1到n-1不合法，那么我们让第1格和第n-1格颜色相同。这使得n-2格的涂法不受n-1格涂法的限制。那么，1到n-2格就只受题目条件的限制。所以，此种情况下的1到n-2格的涂法为f(n-2)。n-1格只有一种涂法，就是与第1格相同。所以，此种情况下1到n-1格的涂法也为f(n-2)。那么，此种情况下对于n-1格涂的某种颜色，第n格可涂与其不同的两种颜色。所以，涂法数为2*f(n-2)。
综上两种情况，我们得到f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2)。
源码: (VC++ 6.0)
#include<stdio.h> #include<string.h> const int MAX = 55; void F(__int64 seq[], int n); __int64 seq[MAX]; int main() { //freopen("input.txt", "r", stdin); int n; memset(seq, 0, sizeof(seq)); F(seq, MAX); while(scanf("%d", &n) != EOF) { printf("%I64d/n", seq[n]); } return 0; } void F(__int64 seq[], int n) { int i; seq[1] = 3; seq[2] = 6; seq[3] = 6; for(i = 4; i <= n; i++) { seq[i] = seq[i - 1] + 2 * seq[i - 2]; } }