深入理解动态规划DP

通过最近对于一些算法题的思考，越来越发现动态规划方法的在时间上高效性，往往该问题可以轻松的找到暴力破解的方法，其时间复杂度却不尽人意。下面来看看几个常见的动态规划思路的经典问题

例一.有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?（腾讯电面题之一）
其状态转移方程为：

f(n):表示n阶楼梯有多少种走法

f(n)=f(n−1)+f(n−2)

f(1)=1,f(2)=2

例二：01背包问题
有n个重量和价值分别为vector weight, vector value的物品；背包最大负重为W，求能用背包装下的物品的最大价值？
输入：n =4
weight=2, 1, 3, 2
value =3, 2, 4, 2
W=5
输出=7

dp[i][j]表示前i号物品中能选出重量在j之内的最大价值

dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−w[i]]+v[i]);

例三：最大连续子序列和
如给定数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
连续的子数组为[4,-1,2,1]有最大和6

f(j+1)为以下标j结尾的连续子序列和的最大值

f(j+1)=max(f(j)+A[j],A[j])

target=maxf[j]

思考：最大连续子序列乘积
如给定数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
连续的子数组为[4,-1,2,1]有最大和6

f(j+1)为以下标j结尾的连续子序列最大乘积值（1）

状态转移方程如何表示呢：
这里我们知道A[j]可能为正数(或0)或负数，那么当A[j]为正数，期望前j个乘积为正数，若为负数，则期望前面的为负数。故我们需定义两个函数来确定我们的状态转移方程：

fmax(j+1)=max(max(fmax(j)∗A[j],A[j]),fmin(j)∗A[j])

fmin(j+1)=min(min(fmin(j)∗A[j],A[j]),fmax(j)∗A[j])(2)

1.通过以上动态问题问题的分析，可以看出最重要的是定义好相应的问题，然后写出状态转移方程，往往这也是整个问题求解最能考察你分析能力的过程。能够用动态规划求解的问题有两类性质：
a.重叠子问题

采用递推方式，比如上例要求出10阶楼梯走法，那么最后一步是踏一步上来或者踏2步上来，最后转化为相应的子问题，子问题深入求解就包含了重叠的子问题，所以自顶向下的实现并不高效，常采用备忘录方式保存子问题的最优解，自底向上更高效。

b.最优子结构：
往往子问题的最优解可以推出原问题的最优解