离散数学基础（命题的合式公式）

1. 合式公式

• 我们会逐渐进入命题逻辑的形式讨论：我们对命题只注意其命题形式，对联结词只注意其逻辑意义。

• 命题逻辑合式公式的定义给出了命题逻辑研究的对象范围。所有符合定义的合式公式构成合式公式空间，它可被视为命题逻辑的符号化语言。语言的结构包括符号表、语法规则（即合适公式定义）和语义（也即真值）。

• 定义：符号化语言 Lp 的符号表包括

− 小写英文字母：p, q, r, … 称为命题变量（或原子变量）。所有可能出现的命题
    变量的集合记为 Var；
− 命题联结词：包括五个联结词 ¬, ∧, ∨, →, ↔；
− 助记符：包括左右两个小括号 (, )。

• 定义：命题逻辑的合式公式 (wff, well‐formed formula)

• 一个命题变量 p 是一个 wff；
• 若 A 是 wff，则 (¬A) 也是 wff；
• 若 A, B 是 wff，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B) 也是wff；

• 当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff。

上述定义是一个归纳定义，1)是归纳基始，2) 3)是归纳步，4)是最小化规则命题逻辑的合式公式以下简称为公式

• 定义：联结词的优先级

− 规定联结词的运算优先级从高到底为：¬ ∧ ∨ → ↔

− 书写公式时，在不引起误解的情况下，可以省略部分小括号。

» 例：(p→(q∧r)) 可写成 p→(q∧r), 或 p→q∧r

• 定义：真值赋值函数
− 具有形式 t:Var→{0,1} 的函数，它为变量表 Var 中的每个命题变量 p∈Var 指 派一个真值 (1/0)。

» 例：Var = {p, q}，可以定义赋值函数t如下： t(p)=0，t(q)=1

• 定义：真值赋值函数

− 在含有 n 个命题变量的 Var上，可以定义的赋值函数有 2n 个，称为对此 n个命题变量的 2n 个解释。

» 例：对 Var={p, q}，可以有 2n=4个不同的解释： t0(p)=0，t0(q)=0； t1(p)=0，t1(q)=1； t2(p)=1，t2(q)=0； t3(p)=1，t3(q)=1；

• 定义：合式公式的真值
− 设下述 A, B, C 都是合式公式。给定一个真值赋值函数 t : Var → {0,1} ，则任意公式 A 在 t 下的真值 T(A)：
− 若 A 是命题变量形式 p，则 T(A)=T(p)；
− 若 A 具有形式 (¬B)，则 T(A)=1 iff T(B)=0；
− 若 A 具有形式 (B∧C)，则 T(A)=1 iff T(B)=1且T(C)=1；
− 若 A 具有形式 (B∨C)，则 T(A)=0 iff T(B)=0且T(C)=0；
− 若 A 具有形式 (B→C)，则 T(A)=0 iff T(B)=1且T(C)=0；

− 若 A 具有形式 (B↔C)，则 T(A)=1 iff T(B)=T(C)；

注意到 Var中包含了本次计算涉及的所有命题变量。

上述对A的真值T(A)的定义是一个递归定义，对T(A)的计算是一个递归过程，所需步数等于利用wff定义构造A的归纳步数。由于A的构造步数是有限的，所以T(A)的递归计算将在有限步数后终止。

• 定义：合式公式的真值表

− 可以采用真值表的方法对 A 的逻辑意义作直观的描述：对任何一个可能的赋值函数（解释）ti，计算出相应 T(A)，称为 A 在 ti下的真值。将所有的 2n 个(n=|Var|) 不同的解释及 A 在各个解释下的真值用表格的形式列明，称为公式
A 的真值表。
• 定义：合式公式的真值表

− 例： (p∧(p∨q))

在每个解释下，计算 (p∨q) 的真值，再以 p 的真值和 (p∨q) 的真值作合取，依合取的定义得到最右栏的真值.

• 定义：合式公式的真值表

− 例：((p∧q)→r)

• 定义：重言式、可满足式和矛盾式
− 在所有真值赋值函数下真值都为1的合式公式称为重言式（或永真式）。
− 能在某一真值赋值函数下取得真值1的合式公式称为可满足式。

− 在所有真值赋值函数下真值都为0的合式公式称为矛盾式（或永假式）。

重言式在任何解释下都为真，故其真值表对应的最右列全是1;可满足式至少在一个解释下为真，故该列至少有一个是1; 矛盾式在任何解释下都为假，故该列全是0

• 定义：重言式、可满足式和矛盾式

− 例： (p∧q)→(p∨q) 是重言式

• 定义：重言式、可满足式和矛盾式

− 例： ¬(p→q)∧q 是矛盾式