剑指offer系列之八：跳台阶问题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

这种问题的思路一般是采用数学归纳法，当n=1时，只有一种跳法；当n=2时，青蛙可以一次跳2级，也可以一次跳两级，需要跳两次，所以有两种跳法；当n=3的时候，首先考虑一次跳1级的情况，由于有3级，所以还有2级没跳，而跳两级的跳法已经在前面n=2的情况中计算得到了；下面考虑一次跳2级的情况，同样跳完2级的之后，还有1级没有跳，而跳剩下1级的方法是当n=1的时候计算得到的，所以可以归纳出当n=3的时候，跳法是f(3)=f(3-1)+f(3-2)。

为了确保正确性，我们继续分析当n=4的情况，由于青蛙第一次的跳法仍然只有两种。我们先分析第一次跳1级的情况，跳完1级之后，还有3级没有跳完，而剩下的3级的跳法总数可以由f(3)得到；当第一次跳2级的时候，还有2级没有跳完，所以剩余2级的跳法总数可以由f(2)得到。综合以上分析，我们得到当n=4的时候，跳法总数是f(4)=f(4-1)+f(4-2)=f(3)+f(2)。以此类推，我们可以得到台阶数为n的情况是f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

这样，我们发现这仍然是一个斐波那契数列问题，基于上述分析，写出代码如下（已被牛客AC）：

package com.rhwayfun.offer;

public class JumpStep {

    public int jumpFloor(int target) {
        int[] r = { 0, 1, 2 };
        if (target <= 2)
            return r[target];

        int one = 1;
        int two = 2;
        int result = 0;
        for (int i = 3; i <= target; i++) {
            result = one + two;
            one = two;
            two = result;
        }

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int result = new JumpStep().JumpFloorII(3);
        System.out.println(result);
    }
}

跳台阶问题变种

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

现在青蛙的能力升级了，不仅能一次跳1级，还能一次跳n级，这是了不起的进步（说笑的）。不管如何，我们仍然使用数学归纳法进行分析：

当n=1时，跳法只有1种，用f(1)=f(1-1)=1表示，下同；
当n=2时，可以一次跳1级，跳两次，也可以一次两2级，跳法有2种，f(2) = f(2-1) + f(2-2)；//f(2-1)表示在有2级台阶的时候，第一次跳1级的跳法，其他类似
当n=3时，可以一次跳1级，跳3次，可以一次跳2级，下一次再跳1级，当然也可以一次跳3级，跳1次，所以跳法是f(3)=f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
……
当n=k的时候，f(k)=f(k-1)+f(k-2)+f(k-3)+…..+f(k-(k-1))+f(k-k)=f(0)+f(1)+f(2)+……+f(k-1)，而f(k-1)=f((k-1)-1)+f((k-1)-2)+……+f((k-1)-(k-2))+f((k-1)-(k-1))=f(0)+f(1)+f(2)+……+f(k-2)，
所以f(k)=2*f(k-1)。

得到上面的结论之后，我们写出如下代码(已被牛客AC)：

public int JumpFloorII(int target) {
        if(target <= 0) return -1;
        if(target == 1) return 1;
        return 2 * JumpFloorII(target - 1);
    }