嵌入式—各种进制之间的关系及转换、原、反、补码

一、进位计数制及其转换

计算机能够处理数值、文字、声音、图像等信息。读者也许会问：为什么作为电子设备的计算机能处理那么多复杂的信息呢？实际上，当把这些信息转换成计算机能识别的形式就能进行处理。目前计算机中所有的信息都用“0”和“1”两个数字符号组合的二进制数来表示。

数值、图形、文字等各种形式的信息，需要计算机加工处理时，首先必须按一定的法则转换成二进制数。本节将首先以常用的十进制为出发点，来讨论二进制、八进制及十六进制的特点，然后介绍各种进制数之间的转换方法。

 1、 十进制数的表示

进位计数制是一种计数的方法，习惯上最常用的是十进制计数法。十进制数的每位数可以用下列10个数码之一来表示：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。十进制数的基数为10，基数表示进位制所具有的数码的个数。十进制数的计数规则是“逢十进一”，也就是说，每位累计不能超过9，计满10就应向高位进1。例如：十进制数按权展开，10ⁱ为该位数字的权

(1234.56)₁₀ = 1 × 10³ + 2 × 10² + 3 × 10¹ + 4 × 10⁰ + 5 × 10^–1 + 6 × 10^–2

通常，对十进制数的表示，可以在数字的右下角标注10或D。

2、  二进制数、八进制数和十六进制数的表示

计算机中为了便于存储及计算的物理实现，采用了二进制。二进制数的基数为2，只有0、1两个数码，其计数规则是“逢二进一”,即每位计满2就向高位进1。它的各位的权是以2ⁱ表示的。

例如：

(101101)₂ = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = (45)₁₀

通常，对二进制数的表示，可以在数字的右下角标注2或B。

二进制数运算规则简单，便于电路实现，它是数字系统中广泛采用的一种数制。但因二进制表示一个数时，所用的位数比用十进制数表示的位数多，人们读写很不方便，容易出错。因此常采用八进制或十六进制。C语言程序设计中就经常会用到这两种进制。

八进制数的基数是8，采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7。计数规则是“逢八进一”，它的各位的权是以8ⁱ表示的。通常，对八进制数的表示，可以在数字的右下角标注8或O，但在C语言中是在数的前面加数字0来表示。例如，(1234)₈就是表示一个八进制数，而不是十进制数1234，在C语言中它表示为01234。

十六进制数的基数是16，采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。其中A、B、C、D、E、F分别表示十进制数字10、11、12、13、14、15。十六进制的计数规则是“逢十六进一”，它的各位的权是以16ⁱ表示的。通常，对十六进制数的表示，可以在数字的右下角标注16或H，但在C语言中是在数的前面加数字0和字母X即0X来表示。例如，(12AF)₁₆就是表示一个十六进制数，在C语言中它表示为0X12AF。

由此可得出：十进制、八进制、二进制与十六进制的特征对照表如表1-1所示。

表1-1  二进制、八进制、十进制与十六进制的特征对照表

进    制	数    码	计 数 规 则	数的表示法
十进制	0、1、2、3、4、5、6、7、8、9	逢十进一	(1234)10
二进制	0、1	逢二进一	(1101)2
八进制	0、1、2、3、4、5、6、7	逢八进一	(4567)8
十六进制	0～9、A、B、C、D、E、F	逢十六进一	(45AF)16

3、二进制数和十进制数的转换

3.1、二进制转换为十进制数

二进制数转换成十进制数是很方便的，只要将二进制数写成按权展开式，并将式中各乘积项的积计算出来，然后各项相加，即可得到与该二进制数相对应的十进制数。例如：

(11010.101)₂ = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰

                    + 1 × 2^–1  + 0 × 2^–2 + 1 × 2^–3

                   = 16 + 8 + 2 + 0.5 + 0.125

                   =(26.625)₁₀

3.2、十进制转换为二进制数

十进制数转换成二进制数分成整数部分转换和小数部分转换，下面分别来介绍它们转换的方法。

（1）整数部分转换

把要转换的十进制数的整数部分不断除以基数2，并记下余数，直到商为0为止。

【例1】 (N )₁₀ = (117)₁₀

117 / 2  = 58      （a₀ = 1）  最低整数位

58 / 2  = 29        （a₁ = 0）

29 / 2  = 14           （a₂ = 1）

14 / 2  = 7            （a₃ = 0）

7 / 2   = 3            （a₄ = 1）

3 / 2   = 1            （a₅ = 1）

1 / 2   = 0            （a₆ = 1）  最高整数位

所以  (N )₁₀ = (1110101)₂。

注意：对于整数部分的转换第一次除以2所得到的余数是二进制数整数的最低位，最后所得到的余数是二进制数整数的最高位。

（2）小数部分转换

对于被转换的十进制数的小数部分则应不断乘以基数2，并记下其整数部分，直到结果的小数部分为0为止。

【例2】 (N )₁₀ = (0.8125)₁₀

0.8125 × 2  = 1.625   （b₁ = 1）  最高小数位

0.625 × 2   = 1.25      （b₂ = 1）

0.25 × 2    = 0.5       （b₃ = 0）

0.5 × 2     = 1.0       （b₄ = 1）  最低小数位

所以  (N )₁₀ = (0.1101)₂。

注意：对于小数部分的转换式中的整数不参加连乘，第一次乘以2所得到的整数部分是二进制数小数的最高位，最后所得到的整数部分是二进制数小数的最低位。

在十进制的小数部分转换中，有时连续乘以2不一定能使小数部分等于0，这说明该十进制小数不能用有限位二进制小数表示。这时，只要取足够多的位数，使其误差达到所要求的精度就可以了。

十进制数转换成二进制数的这种方法其实也适用于十进制数转换成其他进制的数，只是基数不再是2，而是要转换的进制数的基数。下面的例子是将一个十进制数转换成八进制数。

【例3】 (N )₁₀ = (117)₁₀

117 / 8 = 14      （a₀ = 5）  最低整数位

14 / 8  = 1     （a₁ = 6）

1 / 8   = 0     （a₂ = 1）  最高整数位

所以  (N )₁₀ = (165)₈。

【例4】 (N )₁₀ = (0.8125)₁₀

0.8125 × 8 = 6.5      （b₁ = 6）  最高小数位

0.5 × 8   = 4.0      （b₂ = 4）  最低小数位

所以  (N )₁₀ = (0.64)₈。

4  、二进制数、八进制数和十六进制数的转换

八进制数的基数是8（8 = 2³），十六进制数的基数是16（16 = 2⁴）。二进制数、八进制数和十六进制数之间具有2的整指数倍的关系，因而可直接进行转换。

4.1 二进制数 → 八进制数

从小数点开始，分别向左、右按3位分组转换成对应的八进制数字字符，最后不满3位的，则需补0。

【例5】 将二进制数(1101101.10101)₂转换成八进制数。

具体方法为：

二进制数：	0 0 1	1 0 1	1 0 1	.	1 0 1	0 1 0
	↓	↓	↓		↓	↓
八进制数：	1	5	5	.	5	2

所以  (1101101.10101)₂ = (155.52)₈。

4.2、八进制数 → 二进制数

将每位八进制数用3位二进制数表示即可。

【例6】 将八进制数(345.64)₈转换成二进制数。

具体方法为：

八进制数：	3	4	5	.	6	4
	↓	↓	↓		↓	↓
二进制数：	011	110	101	.	110	100

所以  (345.64)₈ = (11100101.1101)₂。

4.3、二进制数 → 十六进制数

从小数点开始，分别向左、右按4位分组转换成对应的十六进制数字字符，最后不满4位的，则需补0。

【例7】 将二进制数(1101101.10101)₂转换成十六进制数。

具体方法为：

二进制数：	0 1 1 0	1 1 0 1	.	1 0 1 0	1 0 0 0
	↓	↓		↓	↓
十六进制数：	6	D	.	A	8

所以  (1101101.10101)₂ = (6D.A8)₁₆。

4.4、十六进制数 → 二进制数

将每位十六进制数用4位二进制表示即可。

【例1-8】 将十六进制数(A8D.6C)₁₆转换成二进制数。

具体方法为：

十六进制数：	A	8	D	.	6	C
	↓	↓	↓		↓	↓
二进制数：	1010	1000	1101	.	0110	1100

所以  (A8D.6C)₁₆ = (101010001101.011011)₂。

二、原码、反码、补码

1、机器数和真值

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

1.1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

1.2、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

 

2、原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

2.1、原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2.2、 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

2.3、补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

 

3、为何要使用原码, 反码和补码

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]_补=[0000 0000]_原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_补 + [1000 0001]_补 = [1000 0000]_补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]_补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]_原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2³¹, 2³¹-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

 

4、深入理解原码、反码、补码

计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

 

同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余.

 

负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

下面是关于mod运算的数学定义:

上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

以 -3 mod 2 举例:

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

 

开始证明

再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

注意, 这里发现的规律!

结合上面学到的同余的概念.实际上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2与10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4与8是同余的.

距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的.

线性运算定理:

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0010]_反 + [1111 1110]_反

先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

发现有如下规律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0010]_补 + [1111 1111]_补

如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111]_原 = 127

其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]