离散数学第一章【给广大不认真学习学生的福利贴】

第一章

1.1：集合和子集

空集：没有任何元素的集合

无限集合：

1. Z+:正整数集合；

2. N: 自然数集合；

3. Z: 整数集合

4. Q: 有理数集合

5. R: 实数集合

幂集：A的所有子集的集合。

基数：A中的不同元素的个数

1.2集合运算

并集∪：集合呈变大趋势

交集∩：集合呈变小趋势

补集：A-B={x|x∈A且x不属于B}；

U-A: A的补集，{x|x∈U且x不属于A}，符号：A上有“一”，

（AUB）的补集==A的补集∩B的补集

(A∩B)的补集==A的补集∪B的补集

对称差：AUB的集合中挖去A∩B的集合 ,记：A⊕B

A⊕B=（A-B）U(B-A)

容斥原理：|AUB|=|A|+|B|-|A∩B|.

|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|.(可以用文氏图画一下)。

1.3序列

序列有时被称为线性数组或表格。

自己意会：可数的集合，不可数的集合

串和正则表达式：

A*，A称作字母表，又称A的字符串，A*中的序列不用逗号书写；

A*中包含空序列，或者空字符串，用/\来表示这种串；

例：A={quick,slow,big,small},那么A*可以是quick slow或者quick big或者无意义的句子。

A上的正则表达式：

Run1./\是一个正则表达式

Run2.X∈A，x是一个正则表达式

Run3.如果a,b是正则表达式，那么ab也是正则表达式

Run4.如果a，b是正则表达式，那么（a\/b）也是正则表达式。

Run5.如果a是正则表达式，那么（a）*也是正则表达式

例：集合A={0，1}；我们证明0*（0\/1）*是正则表达式

运行Run4，0，1为正则表达式，（0\/1）是正则表达式；

运行Run2，0是正则表达式

运行Run5，（0\/1）是正则表达式，（0\/1）*也是正则表达式；0是正则表达式，则0*是正则表达式。

运行Run3. 0*，（0\/1）*是正则表达式，则0*（0\/1）*是正则表达式

可以再练习00*（0\/1）*1.

 

接下来请自行参阅P18

1.正则子集和正则集合

2.M·N 是什么

3.P19 例18

练习：p20，35题

 

1.4整数性质

N|M：N整除M，M是N 的倍数，M=qN

定1，n>0,m∈Z，写出m=qn+r，q和0小于等于r<n是整数，而且这种表达方式唯一（卵用）

定2整除符号的应用，a|b且a|c得a|(b+c)和a|abs(b-c)和a|bc

              a|b且b|c,得a|c

辗转相除法彻底了解就行

 

1.5矩阵

A是n阶方阵且对角线元素称作A的主对角元

Aij为A的第i，j个元素或看成A的（i,j）的元

对角矩阵:每个非主对角元=0即 i不等于j的时候，aij=0

零矩阵：所有元素都为0；

矩阵加法，乘法，转置，求逆都来自于线代不讲；

布尔矩阵：只含有0/1的矩阵

布尔运算：

A/\B：对应的aij和bij都为1为1，其余为0

A\/B：对于的aij和bij都为0为0，其余为1

布尔积：A一圈加一点B,类似于矩阵乘法，对应元素都为1为1，其余为0；

 

1.6数学结构

封闭性质:对于一个集合，给出一定的转换得到的元素还是属于这个集合。

交换性质：x【符号】y=y【符号】x

结合性质：（x【符号】y）【符号】z=x【符号】（y【符号】z）

单位元：x【符号】e=e【符号】x=x，称e为【符号】的单位元，e是唯一的