【数据结构与算法】十一 最大公约数

【数据结构与算法】十一 最大公约数

最大公约数

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

辗转相除法

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。
这就是辗转相除法的原理。

求（319，377）： ∵ 319÷377=0（余319） ∴（319，377）=（377，319）； ∵ 377÷319=1（余58） ∴（377，319）=（319，58）； ∵ 319÷58=5（余29）， ∴ （319，58）=（58，29）； ∵ 58÷29=2（余0）， ∴ （58，29）= 29； ∴ （319，377）=29.

可以写成右边的格式。
用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

更相减损法

更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

例 一

用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。
这个过程可以简单的写为：

（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.

例 二

用更相减损术求260和104的最大公约数。
解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。
此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

260/2=130 130/2=65
104/2=52  52/2=26 
65-26=39
39-26=13
26-13=13

13*2*2=52

所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。
这个过程可以简单地写为：

（260,104）=（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13

比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。

实现

C++

#include <iostream>

using namespace std;



int gcd_mod(int m, int n){
    if(n == 0){
        return m ;
    }else
        return gcd_mod(n, m % n);// % 取余数操作 比较消耗性能
}

int gcd_sub(int m, int n){
    if(m == n || n == 0)
        return m ;

    if(m == 0)
        return n ;
    if(m > n)
        return gcd_sub(n , m - n);
    else
        return gcd_sub(m , n - m);

}

int gcd_byte(int m , int n){
    if( m == n )
        return m ;

    if( m == 0 )
        return n ;

    if( n == 0 )
        return m ;

    if(~m & 1){
        if(n & 1)
            return gcd_byte(m >> 1, n);
        else
            return gcd_byte(m >> 1, n >> 1) << 1 ;
    }

    if(~n & 1)
        return gcd_byte(m, n >> 1);

    if(m > n)
        return gcd_byte((m - n) >> 1, n);

    return gcd_byte((n - m) >> 1, m);

}


int main(){
    cout << gcd_mod(319,377) << endl;
    cout << gcd_sub(319,377) << endl;
    cout << gcd_byte(319,377) << endl;
    cout << gcd_byte(99,7) << endl;
    cout << gcd_byte(260,104) << endl;
    cout << gcd_byte(27,18) << endl;
    cout << gcd_byte(3,3) << endl;
    return 0;
}

最后

通过上面一些简单的讲解，

相信朋友们已经知道其原理及特性了。

本人能力有限,

如发现错误或不合理欢迎指正…