图的最短路径算法分析与总结
图的求最短路径算法大类可以分为4种，在这里一一介绍
1.Floy算法
2.Dijkstra算法
3.Bellman-Ford算法
4.Bellman-Ford算法的队列优化
注：以下程序是以编号为1的节点为源点的程序，如果需要更改，可以自行更改。
一， Floy算法
基本思想：
1.数据结构：邻接矩阵
2.算法思想：动态规划
核心代码：
for(k=1;k<=n;k++)
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(e[i][k]+e[k][j]<e[i][j])
{
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
}
}
}
}
e[i][j]是表示从i节点到j节点的距离
如果I=2,j=7;
其前面的已经是最优解，只需判断一下经过哪个节点最小。
注：邻接矩阵的建立：
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j) e[i][j]=0;
else e[i][j]=999999;
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&x,&y,&v);
e[x][y]=v;
}
二. Dijkstra算法
数据结构：邻接矩阵
算法思想：基于贪心算法
核心代码：
for(i=1;i<n-1;i++)
{
min=inf;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(book[j]==0&&dis[j]<min)
{
min=dis[j];
u=j;
}
}
book[u]=1;
for(v=1;v<=n;v++)
{
if(e[u][v]<inf)
{
if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
{
dis[v]=dis[u]+e[u][v];
}
}
}
}
这个算法不能解决负边权问题
主要思想：
1.找到当前里源点最近的点，然后把其值改为确定值
原因：因为再经过任何一边都会增加其值，所以其值一定最小，这也是为什么其不能解决负边权问题的原因。
2.用选择法更新每个点，如果某个点经过这个点路径会减小，则更新那个点，否则则不更新
3.不断重复1.2步骤，直到其所有点都已经成为标记值
三，bellman- ford算法
数据结构：数组
算法思想：遍历利用边 ”松弛“
核心代码：
for(k=1;k<=n-1;k++)
{
for(i=1;i<=m;i++)
{
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])
dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];
}
}
该算法是以边为主要思想的遍历每个边，每一个边选择或者不选择，每个选择的边都进行了一遍 “松弛”
每松弛第i次就代表着从出发点开始，经过i条边所能达到的最小距离，所以在没有环的情况下，只需走n-1次
所以有n-1次循环外层
如果有环，如果是负边权的，则其没有最小值，如果是正边权，这其不必经过环，
那下面讨论一下怎么确定其是否有负边权的环：当循环n-1次后，如果继续循环其还变化的话，就说明有负边权的环，否则其没有负边权的环
代码如下：
int flag=0;
for(i=1;i<=m;i++)
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]) flag=1;
if(flag) printf("there are loop in the map!!");
四，bellman-ford算法的队列优化
基本思想：利用队列实现了bellman-ford算法的核心思想，就是代码长度增加，代码理解起来相对难，但是减少了时间复杂度，减少了bellman-ford里面不必要的循环。
数据结构：队列，数组
个人理解：其有点像广度优先搜索，和动态规划
由于会比较难理解，就上全部代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<conio.h>
int main()
{
int n,m,i,j,k;
int u[8],v[8],w[8],e[100][100]={0};
int first[6],next[8];
int dis[6]={0},book[6]={0};
int que[101]={0},head=1,tail=1;
int inf =99999;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;
dis[1]=0;
memset(book,0,sizeof(book));
for(i=1;i<=n;i++) first[i]=-1;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]);
e[u[i]][v[i]]=w[i];
//very beautiful solution
//very important ! ! //就是一条边指向另一条边
next[i]=first[u[i]];//判断是否有与第i条边有相同节点的边，有的话就把该边赋给next[i]
first[u[i]]=i;//把边的序号赋值给first的第节点个个的元素
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
printf("%5d",e[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
for(i=1;i<=m;i++) printf("%d ",first[i]);
printf("\n");
for(i=1;i<=m;i++) printf("%d ",next[i]);
printf("\n");
que[tail]=1; tail++;
book[1]=1;
while(head<tail)
{
k=first[que[head]];
while(k!=-1)
{
if(dis[v[k]]>dis[u[k]]+w[k])//k代表第几条边
{
dis[v[k]]=dis[u[k]]+w[k];
if(book[v[k]]==0)
{
que[tail]=v[k];
tail++;
book[v[k]]=1;
}
}
k=next[k];
}
book[que[head]]=0;
head++;
}
for(i=1;i<=n;i++) printf("%5d",dis[i]);
getch();
return 0;
}
代码分析：
1.邻接表的两个数组储存：
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]);
e[u[i]][v[i]]=w[i];
//very beautiful solution
//very important ! ! //就是一条边指向另一条边
next[i]=first[u[i]];//判断是否有与第i条边有相同节点的边，有的话就把该边赋给next[i]
first[u[i]]=i;//把边的序号赋值给first的第节点个个的元素
}
先大概分析一下代码：
首先first数组里面存的数据会被覆盖，所以其存储的数据必定是最后一个数据，因为其前面的数据都被覆盖掉了。
然后next数组里面储存的数据不会被覆盖，而且其储存的肯定是与第i个边有相同头结点的边的编号，而且其比i小且为最临近的一条边，因为再前面的边的编号已经被覆盖。
来看下实例，就会进一步理解！
先来数据：
测试数据：
5 7 //5个顶点，7条边
1 2 2
1 5 10
2 3 3
2 5 7
3 4 4
4 5 5
5 3 6
| first[] | 2 4 5 6 7 7 5 |
| next[] |
-1 1 -1 3 -1 -1 1
|
这就是其运行结果。
可以分析出：first[]数组第i个元素代表编号为i点所在的最后一个边的编号
next[]第i个元素代表与第i个边有相同前结点的 由大到小离i边编号最近的 一个边的 编号
可以看出，其用两个数组存储邻接表，然后就是如何利用这个数据结构了
来看代码：
while(head<tail)
{
k=first[que[head]];
while(k!=-1)
{
if(dis[v[k]]>dis[u[k]]+w[k])//k代表第几条边
{
dis[v[k]]=dis[u[k]]+w[k];//同bellman-ford算法思想
if(book[v[k]]==0)
{
que[tail]=v[k];//入队
tail++;
book[v[k]]=1;//标记
}
}
k=next[k];//利用其找到有相同前节点的边的编号
}
book[que[head]]=0;//出队,并标记
head++;
}
因为这个算法用队列实现的，所以从源点开始，每遇到一个“新‘’节点入队，同时处理入队的节点，每处理完一个节点，该节点出队。
这里的”新”是指”队列“中不存在的节点
实现方法：用book[]数组标记
当队列为空时，代表着其已经处理完所有的数据，结束计算，输出。
到此四个计算最短路径的算法已经介绍完，其中应用的最主要的思想就是动态规划，即当前解为最优解。
然后就是Dijkstra算法中应用的贪心算法（导致其只能用于没有负边权的图）
Floy和Dijkstra算法中是以节点为中心，运用邻接矩阵
Bellman-ford 和Bellman-ford的队列优化 是以边为中心并继承Dijkstra的dis[]一维数组
先写这些了，，以后有发现再补上！