[阶 原根 指标]BZOJ 2219 数论之神

数论好题，总算把数论这一块遗漏的知识补齐了

题解传送：

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1.【阶】 
满足 ax≡1(modp)  的最小的 x 是 a 关于 p 的阶。 
记作 δ(a)=x

2.【原根】 
若 δ(g)=φ(p) ，则称 g 是 p 的原根。

（1）只有 1,2,4,pk,2∗pk （ p 是奇素数）有原根。

（2） p 的原根个数为 φ(φ(p))  
（证明见这里）

（3） p>1 , φ(p) 所有不同的因数为 p1,p2,…,pk ， (g,m)=1 ，则 g 是模 p 的原根的充要条件是： gpi≡1(modp) 对于所有的 pi 都不成立 
（这也是原根的求法）

3.【指标】 
若 gr≡a(modp) 成立，则称 r 是以 g 为底的 a 对模 m 的一个指标。 
记作 r=inda

（1） a≡b(modp)⇔inda≡indb(modφ(p))

（2） ind(a∗b)≡inda+indb(modφ(p))

（3） ind(an)≡n∗inda(modφ(p))

（4）指标的求法： 
先求出 p 的原根 g ，然后用BSGS求出 ga≡b(modp) 中的 a  
（BSGS详见这里）