推荐系统-矩阵分解原理详解

目前推荐系统中用的最多的就是矩阵分解方法，在Netflix Prize推荐系统大赛中取得突出效果。以用户-项目评分矩阵为例，矩阵分解就是预测出评分矩阵中的缺失值，然后根据预测值以某种方式向用户推荐。常见的矩阵分解方法有基本矩阵分解（basic MF），正则化矩阵分解）（Regularized MF），基于概率的矩阵分解（PMF）等。今天以“用户-项目评分矩阵R（N×M）”说明三种分解方式的原理以及应用。

• Basic MF：

  Basic MF是最基础的分解方式，将评分矩阵R分解为用户矩阵U和项目矩阵S， 通过不断的迭代训练使得U和S的乘积越来越接近真实矩阵，矩阵分解过程如图：
  

  预测值接近真实值就是使其差最小，这是我们的目标函数，然后采用梯度下降的方式迭代计算U和S，它们收敛时就是分解出来的矩阵。我们用损失函数来表示误差（等价于目标函数）：
  公式1

  公式1中R_ij是评分矩阵中已打分的值，U_i和S_j相当于未知变量。为求得公式1的最小值，相当于求关于U和S二元函数的最小值（极小值或许更贴切）。通常采用梯度下降的方法：
  

  是学习速率，表示迭代的步长。其值为1.5时，通常以震荡形式接近极值点；若<1迭代单调趋向极值点；若>2围绕极值逐渐发散，不会收敛到极值点。具体取什么值要根据实验经验。

• Regularized MF

  正则化矩阵分解是Basic MF的优化，解决MF造成的过拟合问题。其不是直接最小化损失函数，而是在损失函数基础上增加规范化因子，将整体作为损失函数。
  

  红线表示正则化因子，在求解U和S时，仍然采用梯度下降法，此时迭代公式变为：（图片截取自相关论文，S和V等价）
  

  其中， 。

  梯度下降结束条件：f(x)的真实值和预测值小于自己设定的阈值（很小的值，之前一直理解为是变量U和V的迭代值差小于阈值就行，弄了一天才懂。）

• PMF
  基于概率的矩阵分解，在下一篇博文里。