连续邮资问题

题目大意：

某国家发行k种不同面值的邮票，并且规定每张信封上最多只能贴h张邮票。 公式n（h,k）表示用从k中面值的邮票中选择h张邮票，可以组成面额为连续的1，2，3，……n， n是能达到的最大面值之和。例如当h=3，k=2时， 假设两种面值取值为1，4， 那么它们能组成连续的1……6，  虽然也可以组成8，9，12，但是它们是不连续的了。

分析与总结：

连续邮资问题，这个算是很经典的一个问题了。王晓东的《计算机算法设计与分析第三版》 p173有介绍， 但是讲的不够详细， 这里转载了一篇博客对王晓东讲的有更深入详细分析：

连续邮资问题 http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7755254

以下是按照我自己的话来总结：

首先开一个数组stampVal【0...i】来保存各个面值，再开一个maxVal[0...i]来保存当前所有面值能组成的最大连续面值。

那么，我们可以确定stampVal[0] 一定是等于1的。因为如果没有1的话，很多数字都不能凑成。

然后相应的，maxVal[0] = 1*h.   h为允许贴邮票的数量

接下去就是确定第二个，第三个......第k个邮票的面值了，这个该怎么确定呢？

对于stampVal[i+1],  它的取值范围是stampVal[i]+1 ~maxVal[i]+1. 

stampVal[i]+1好理解， 这一次取的面值肯定要比上一次的面值大，  而这次取的面值的上限是上次能达到的最大连续面值+1， 是因为如果比这个更大的话， 那么

就会出现断层， 即无法组成上次最大面值+1这个数了。 举个例子， 假设可以贴3张邮票，有3种面值，前面2种面值已经确定为1，2， 能达到的最大连续面值为6， 那么接下去第3种面值的取值范围为3～7。如果取得比7更大的话会怎样呢？ 动手算下就知道了，假设取8的话， 那么面值为1，2，8，将无法组合出7 ！！

知道了这个以后，就可以知道回溯的大概思路了， 但是还不够， 怎样取得给定的几个面值能够达到的最大连续面值呢？

最直观容易想到的就是直接递归回溯枚举所有情况， 便可知道最大连续值了。

下面是我写的递归函数：

// cur当前用了几张票， n面额数， sum面值之和
void dfs(int cur, int n, int sum){
    if(cur >= h){
        occur[sum] = true;
        return;
    }
    occur[sum] = true;
    for(int i=0; i<=n; ++i){
        dfs(cur+1, n, sum+stampVal[i]);
    }
}

occur是一个全局数组， 调用递归时先初始化为0。 然后用它来记录出现过的面值之和。

最后只需要从occur数组的下标1开始枚举，直到不是true值时就是能达到的最大连续面值。

由于这道题的数据量很小，所以这样做完全不会超时，速度也不错：

165 - Stamps

Accepted

C++

0.068

 下面是用这种方法的代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#define MAXN 200
using namespace std;
int h, k;
int ans[MAXN], maxStampVal, stampVal[MAXN], maxVal[MAXN];
bool occur[MAXN];



// 计算给定面额和数量能够达到的最大连续面值
// cur当前用了几张票， n当前面额数， sum面额之和
void dfs(int cur, int n, int sum){
    if(cur >= h){
        occur[sum] = true;
        return;
    }
    occur[sum] = true;
    for(int i=0; i<=n; ++i){
        dfs(cur+1, n, sum+stampVal[i]);
    }
}

void search(int cur){
    if(cur >= k){
        if(maxVal[cur-1] > maxStampVal){
            maxStampVal = maxVal[cur-1];
            memcpy(ans, stampVal, sizeof(stampVal));
        }
        return ;
    }
    for(int i=stampVal[cur-1]+1; i<=maxVal[cur-1]+1; ++i){

        memset(occur, 0, sizeof(occur));
        stampVal[cur] = i;
        dfs(0, cur, 0);
        int num=0, j=1;

        while(occur[j++]) ++num;
        maxVal[cur] = num;

        search(cur+1);
    }
}

int main(){
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
    // h数量， k面额数
    while(scanf("%d %d", &h, &k), h+k){
        stampVal[0] = 1;
        maxVal[0] = h;
        maxStampVal = -2147483645;
        search(1);

        for(int i=0; i<k; ++i)
            printf("%3d", ans[i]);
        printf(" ->%3d\n", maxStampVal);
    }
    return 0;
}

计算X[1:i]的最大连续邮资区间在本算法中被频繁使用到，如果数据量大的话，很可能就会超时了。

《计算机算法设计与分析第三版》给了一个更高效的方法：

考虑到直接递归的求解复杂度太高，我们不妨尝试计算用不超过m张面值为x[1:i]的邮票贴出邮资k所需的最少邮票数y[k]。通过y[k]可以很快推出r的值。事实上，y[k]可以通过递推在O(n)时间内解决：

for (int j=0; j<= x[i-2]*(m-1);j++)
        if (y[j]<m)
          for (int k=1;k<=m-y[j];k++)
            if (y[j]+k<y[j+x[i-1]*k]) y[j+x[i-1]*k]=y[j]+k;
      while (y[r]<maxint) r++;

转载的那篇博文对这个有更深入的分析。

165 - Stamps

Accepted

C++

0.016

 速度有明显的提高。

下面是按照这种方法做的代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#define INF 2147483647
#define MAXN 2000
using namespace std;
int h, k;
int ans[MAXN], maxStampVal, stampVal[MAXN], maxVal[MAXN], y[MAXN];
bool occur[MAXN];


void search(int cur){
    if(cur >= k){
        if(maxVal[cur-1] > maxStampVal){
            maxStampVal = maxVal[cur-1];
            memcpy(ans, stampVal, sizeof(stampVal));
        }
        return ;
    }
    int tmp[MAXN];
    memcpy(tmp, y, sizeof(y));
    for(int i=stampVal[cur-1]+1; i<=maxVal[cur-1]+1; ++i){

        stampVal[cur] = i;
        // 关键步骤，利用了动态规划的思想
        for(int j=0; j<stampVal[cur-1]*h; ++j)if(y[j]<h){
            for(int num=1; num<=h-y[j]; ++num){
                if(y[j]+num < y[j + i*num] && (j+i*num<MAXN))
                    y[j+i*num] = y[j]+num;
            }
        }
        int r = maxVal[cur-1];
        while(y[r+1]<INF) r++;
        maxVal[cur] = r;

        search(cur+1);

        memcpy(y, tmp, sizeof(tmp));
    }
}

int main(){
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
    // h数量， k面额数
    while(scanf("%d %d", &h, &k), h+k){
        stampVal[0] = 1;
        maxVal[0] = h;
        int i;
        for(i=0; i<=h; ++i)
            y[i] = i;
        while(i<MAXN) y[i++] = INF;
        maxStampVal = -2147483645;
        search(1);

        for(i=0; i<k; ++i)
            printf("%3d", ans[i]);
        printf(" ->%3d\n", maxStampVal);
    }
    return 0;
}