模拟退火算法求解旅行商问题
一. 爬山算法 ( Hill Climbing )
介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。
爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。
图1
二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想
爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。
模拟退火算法描述：
若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动
若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。
根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：
P(dE) = exp( dE/(kT) )
其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。
随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。
我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。
关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：
爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
下面给出模拟退火的伪代码表示。
三. 模拟退火算法伪代码
代码
/* * J(y)：在状态y时的评价函数值 * Y(i)：表示当前状态 * Y(i+1)：表示新的状态 * r： 用于控制降温的快慢 * T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态 * T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索 */ while( T > T_min ) { dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; if ( dE >= 0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动 Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动 else { // 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也 if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) ) Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动 } T = r * T ; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快 /* * 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值 */ i ++ ; }
四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题
旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。
旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。
使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：
1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )
2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温
3. 重复步骤1，2直到满足退出条件
产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：
1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。
2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。
3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。
详细描述如下：
五. 算法评价
模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解，可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当，模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。
代码如下：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <fstream>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <limits.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
const int nCities = 99; //城市数量
const double SPEED = 0.98;//退火速度
const int INITIAL_TEMP = 1000;//初始温度
const int L = 100 * nCities;//Markov 链的长度
struct node
{
int num;
int x;
int y;
}nodes[nCities];
struct unit //一个解
{
double length;//代价，总长度
int path[nCities];//路径
bool operator < ( const struct unit &other) const
{
return length < other.length;
}
};
unit bestone = {INT_MAX, {0} };//最优解
double length_table[nCities][nCities];//distance
void init_dis(); // create matrix to storage the Distance each city
void SA_TSP();
void CalCulate_length(unit &p);//计算长度
void print( unit &p);//打印一个解
void getNewSolution(unit &p);// 从邻域中获去一个新解
bool Accept(unit &bestone, unit &temp, double t);//新解以Metropolis 准则接受
int main(int argc, char* argv[])
{
init_dis();
SA_TSP();
CalCulate_length(bestone);
print(bestone);
return 0;
}
//stl 中 generate 的辅助函数对象
class GenbyOne {
public:
GenbyOne (int _seed = -1): seed(_seed){}
int operator() (){return seed += 1;}
private:
int seed;
};
void SA_TSP()
{
srand(time(0));
int i = 0;
double r = SPEED;
double t = INITIAL_TEMP;
const double t_min = 0.001; //温度下限，若温度达到t_min ，则停止搜索
//choose an initial solution ~
unit temp;
generate(temp.path, temp.path + nCities, GenbyOne(0));
random_shuffle(temp.path, temp.path + nCities);
CalCulate_length(temp);
memcpy(&bestone, &temp, sizeof(temp));
// while the stop criterion is not yet satisfied do
while ( t > t_min )
{
for (i = 0; i < L; i++)
{
getNewSolution(temp);
if(Accept(bestone,temp, t))
{
memcpy(&bestone, &temp, sizeof(unit));
}
else
{
memcpy(&temp, &bestone, sizeof(unit));
}
}
t *= r; //退火
}
return;
}
bool Accept(unit &bestone, unit &temp, double t)
{
if (bestone.length > temp.length)
{
return true;
}
else
{
if ((int)(exp((bestone.length- temp.length) / t) * 100) > (rand() % 101) )
{
return true;
}
}
return false;
}
void getNewSolution(unit &p)
{
int i = rand() % nCities;
int j = rand() % nCities;
if (i > j)
{
int t = i;
i = j;
j = t;
}
else if (i == j)
{
return;
}
int choose = rand() % 3;
if ( choose == 0)
{//交换
int temp = p.path[i];
p.path[i] = p.path[j];
p.path[j] = temp;
}
else if (choose == 1)
{//置逆
reverse(p.path + i, p.path + j);
}
else
{//移位
if (j+1 == nCities) //边界处不处理
{
return;
}
rotate(p.path + i, p.path + j, p.path + j + 1);
}
CalCulate_length(p);
}
void init_dis() // create matrix to storage the Distance each city
{
int i, j;
ifstream in("source.txt");
for (i = 0; i < nCities; i++)
{
in >> nodes[i].num >> nodes[i].x >> nodes[i].y;
}
for (i = 0; i < nCities; i++)
{
length_table[i][i] = (double)INT_MAX;
for (j = i + 1; j < nCities; j++)
{
length_table [i][j] = length_table[j][i] =sqrt(
(nodes[i].x - nodes[j].x) * (nodes[i].x - nodes[j].x) +
(nodes[i].y - nodes[j].y) * (nodes[i].y - nodes[j].y) );
}
}
}
void CalCulate_length(unit &p)
{
int j = 0;
p.length = 0;
for (j = 1; j < nCities; j++)
{
p.length += length_table[ p.path[j-1] ][ p.path[j] ];
}
p.length += length_table[ p.path[nCities - 1] ][ p.path[0] ];
}
void print( unit &p)
{
int i;
cout << "代价是：" << p.length << endl;
cout << "路径是：";
for (i = 0; i < nCities; i++)
{
cout << p.path[i] << " ";
}
cout << endl;
}
参考资料： http://www.cnblogs.com/heaad/