Catalan数及二叉树计数
算法导论12-4 N个结点的二叉树，能构成多少种形状不同的二叉树？
这个问题的答案就是著名的Catalan数，以下为详细证明过程：
此题还可以通过组合数学的方法解决，在Knuth的著作TAOCP中有非常经典的证明：
原题如此描述， n个数在入栈序列一定的情况下，其合法的出栈序列有多少种？
将入栈事件用1表示，出栈事件用0表示，则n个数的出入栈为n个1和n个0的一个排列，而且从左往右数1一定不能比0少(否则某个时刻出栈次数多于入栈次数)。
n个1和n个0的一个排列，其总数有C(2n,n)，但其中还要去除那些非法的排列，以下计算非法的排列数，要证明每一个非法排列与n-1个1和n+1个0的排列等价。
(1) 一个n-1个1和n+1个0的排列可以映射到一个非法排列
由于0比1的个数多，则一定存在某个位置，此位置值为0，且前面的0和1的个数一样多，找出第一次有这种属性的位置，将其后的0和1颠倒，如此得到一个n个1和n个0的排列，其为非法的出栈序列
(2) 一个非法排列可以映射到一个n+1个1和n-1个0的排列
非法序列的含义，即存在某个位置，此位置值为0，且前面的0和1的个数一样多，找出第一次有这种属性的位置，将其后的0和1颠倒，如此得到一个n-1个1和n+1个0的排列。
所以证明了每一个非法排列与n-1个1和n+1个0的排列等价，而n-1个1和n+1个0的排列总数为C(2n,n+1)，所以合法的出栈序列总数为C(2n,n)-C(2n,n+1)
以下还要证明n个数的合法出栈序列满足Catalan数的定义
进栈序列为1，2，3，…，n，假设最后一个出栈的数为k，则1,2,...,k-1必定在k入栈之前出栈了，否则k就不是最后一个出栈的数。由此合法出栈总数为1,2,...,k-1的出栈序列总数加上k+1,k+2,...,n的出栈序列总数，其中k的取值可以从0到n，则合法排列总数B(n)=sum(B(k) B(n-1-k)) (0<=k<=n-1)，显然这个数目与Catalan数的定义完全一致。
其实以上的证明步骤可以等价于一棵二叉树，只要将最后出栈的数定义为树根，在边序列定义为左子树，右边序列定义为右子树，再递归定义即可得到一棵二叉树。
很多实际的问题都可以归结到Catalan 数，比如“买票找零问题”、“凸多边形三角划分”、“矩阵连乘的括号问题”等等，只要可以将问题归纳到这样的属性，即一个0和1必须成对的排列，而且1必须不能比0多，都可以归结为Catalan数。很多面试题都喜欢这种类型。