shuoj1936-D序列—最长上升子序列

Description

已知两个长度为N的数组A和B，下标从0标号至N-1。

现在定义一种D序列 (假设长度为L)，这种序列满足下列条件：

1. 0 <= D[i] <= N-1

2. A[D[i]] < A[D[i+1]]  (0 <= i < L-1)

3. B[D[i]] > B[D[i+1]]  (0 <= i < L-1)

求满足条件的D序列的最大长度。

（其实这种序列叫做D序列的原因是：这道题是D题）

Input

多组数据，每组数据第一行是一个整数N。(1 <= N <= 100000)

第二行中有N个正整数A[0]~A[N-1]。

第三行中有N个正整数B[0]~B[N-1]。

保证所有输入整数在int范围内。

Output

对每组数据，输出一个整数，表示D序列的最大长度L。

Sample Input

3

1 1 2

3 2 1

3

1 2 3

3 2 1

4

1 3 2 4

3 1 2 4

Sample Output

233

思路：：将A数组，B数组以A为第一关键字，B为第二关键字进行升序排序，然后将B倒置求B的最长上升子序列。

为了避免下标排序和写比较函数，将A B 保存在pair里先排序，然后再取出来存放大到 A 中。倒置，并求最长子序列。

在求最长上升子序列时，直接用dp的方法时间复杂度为 O(n^2),会超时，所以采用其他的方法求。

方法（1）：：利用lower_bound 求上升子序列O(nlogn)

 //lower_bound三个参数分别为要比较的起始点地址，终止点的地址+1（也就是左闭右开），要比较的值(假设为d)。

//它的作用是返回一个地址，这个地址是在比较的范围内>=d的最小的值的地址。

//举个例子，a[] = {0 , 1 ,2, 4, 5, 7 } p =lower_bound(a,a+6,3),p就为 4 的地址，如果p =lower_bound(a,a+6,4),p也为 4 的地址

方法（2）：：利用二分法求上升子序列O(nlogn)

利用lower_bound要在数组中进行比较，当要比较的数较大时，无法将数存放在数组中，而利用二分法能解决这一问题，但代码难度较大。

两种方法的思路是一样的。将数组A中子序列长度为 i 的最小值存放在数组S中。我们以3 2 4 6  5 7 3 为例进行演示行为遍历，列为数组S，变化的地方已经标出 来，有助于理解。在这里a[ i ] > s[ j ]&&a[i]<=s[ j + 1 ]就应该把a[ i ]放在s[ j+1 ]的位置。所以关键就是找出 j 就知道把a[ i ]放在哪了。上面的两种方法就是用来寻找 j 的 。（在这里lower_bound直接返回 j + 1 ） 

我们可以发现s数组中的值必然是有序递增的，这也是可以利用二分法的一个必要条件。

演示

0	1	2	3	4
1	3
2	2
3	2	4
4	2	4	6
5	2	4	5
6	2	4	5	7
7	2	3	5	7

方法（1）代码：：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100005],b[100005];
int s[100005];
vector<pair<int,int> > T;//可以用vector存，也可以直接用数组 pair<int ,int> T[100005];

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        T.clear();//如果不初始或要出错用数组就不需要了
        for(int i = 0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        for(int i = 0;i<n;i++)scanf("%d",&b[i]);
        //如果用数组应该为T[i] = {a[i],b[i]};
        for(int i = 0;i<n;i++)T.push_back(make_pair(a[i],b[i]));
        //sort(T,T+n);
        std::sort(T.begin(),T.end());//排序
        for(int i= 0;i<n;i++)a[i] = T[i].second;//把排序后的数组b取出来放到a中
        reverse(a,a+n);//导致
        int len = 1; s[1] = a[0];//<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">第一个元素首先放入 s[1]</span>
        for(int i = 1;i<n;i++){//dp的思想，逐个将a中元素加入s.
            int t = a[i];
            if(t>s[len])s[++len] = a[i];
            else{
                int p = lower_bound(s+1,s+len+1,t)-s;
                s[p] = t;
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return 0;
}

方法（2）代码：：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100005],b[100005];
int s[100005];
vector<pair<int,int> > T;
 
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        T.clear();
        for(int i = 0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        for(int i = 0;i<n;i++)scanf("%d",&b[i]);
        for(int i = 0;i<n;i++)T.push_back(make_pair(a[i],b[i]));
        std::sort(T.begin(),T.end());
        for(int i= 0;i<n;i++)a[i] = T[i].second;
        reverse(a,a+n);
        int len = 1;s[1] = a[0];
        for(int i = 1;i<n;i++){
            int t = a[i];
            if(t>s[len]) s[++len] = a[i];
            else{
                int l = 1,r = len,mid;
                int ans = 0;
                while(l<=r)//这里的二分法采用了左闭右闭的思路
                {
                    mid = (r+l)/2;
                    if(s[mid]<t){
                        l = mid+1;
                        ans=max(ans, mid);//ans即为思路中的j，j必然为s数组中小于t的最大的数
                    } 
                    else r = mid-1;
                }
                s[ans+1] = t;
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return 0;
}