Topcoder SRM 600 Div1 250 and Div2 600

Topcoder SRM 600 Div1 250 and Div2 600

Problem

  给一个长度为n的数列A和目标goal，甲从A中取若干个元素Ai，A(i+1)，......，Ak，若它们的异或和Ai^A(i+1)^......^Ak等于goal，则甲赢。现在乙从A中删除若干个元素，问最少删除多少个元素可使得甲一定赢不了。

Limits

Time Limit(ms): 2000

Memory Limit(MB): 256

n: [1,50]（Div1 250）或 [1,20]（Div2 600）

A[i]: [1,10^9]

goal: [1,10^9]

A[i] !=A[j] (i !=j)

Solution

  考虑数列A中的元素，若(A[i] | goal) !=goal，则甲一定不能选择A[i]，意味着乙不需要删除A[i]；反之，若(A[i] | goal) ==goal，则甲可以选择A[i]，乙有可能需要删除A[i]。考虑goal的二进制形式（...0100101...），对于每一个“1”的位置p，在所有能被甲选择的元素中，统计有多少个（假设有num个）在位置p也为1。answer等于num的最小值min-num。

More

  若 (A[i] | goal) !=goal，且甲选择了A[i]，那么甲所构成的异或和一定不等于goal。所以，甲可选择的数以及乙所需删除的数都有(A[i] | goal) ==goal的性质，对于(A[i] | goal) !=goal的A[i]不需要考虑。

  下面证明为什么answer等于min-num。

  假设在位置p上，有最小值min-num。如果answer不等于min-num，说明可以删除少于min-num个数使得A无法获胜。但由于有min-num个二进制数在p位置上为1，删除少于min-num个数后，在p位置上所有数的异或和仍为1；又由于其他位置上至少有min-num个二进制数为1，那么删除少于min-num个数后，在该位置上所有数的异或和也为1。所以，若min-num不为0，甲只需把所有可选择的数取异或和，一定可以得到goal。因此，删除少于min-num个数不能使得A无法获胜，answer等于min-num。证毕。

   当n为20时，可以用状态压缩解决此问题。核心思想仍为上述思想，但复杂度为指数级别。

Complexity

Time Complexity: O(30*n)

Memory Complexity: O(30)

Source

Tocoder SRM 600 Div1 250

Tocoder SRM 600 Div2 600

Code

Topcoder SRM 600 Div1 250 From My Github

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