DFS 及其相关证明

DFS 对个人来讲真是个奇怪的遍历算法，但最后再仔细看来却是相当重要的算法，难怪在CLRS的chapter notes中讲到由Hopcroft和Tarjan首先意识到DFS的重要性，记住Tarjan这个人，他在图论上有着相当大的贡献，而且首次引入了amortized analysis(分摊分析)，这两位同时获得了图灵奖。DFS如此重要，以下几乎全翻译自CLRS，包括部分习题的解答。

 

顾名思义，DFS就是深度优先搜索，先尽可能的找一条包含足够多点的简单路径，如果找不到再向上一层结点回溯，DFS过程可以使用递归函数方便的实现。DFS中对于每一个点u，有一个发现时间d(u)和结束时间f(u)，可以认为点u的生存周期为(d(u), f(u))。

定理1：图G=(V,E)中任意两个点u、v的生存周期均不相交，即只有相离、包含两种关系。这称为DFS的括号匹配。

证明：不失一般性，假设 d(u) <d(v)，分两种情况：

(1) d(v) <f(u)，发现点v时点u为灰色，由DFS过程可知v为u的子孙结点，如此便有d(u) < d(v) < f(v) < f(u)，此时两点为包含关系。

(2) d(v) >f(u)，则显然有 d(u) < f(u) < d(v) < f(v)，此时两点为相离关系

由此定理有DFS 中v为u的子孙结点  当且仅当 d(u) < d(v)< f(v) < f(u)

 

定理2：DFS 中v为u的子孙结点  当且仅当访问到u时存在一条从u到v的白色路径，故此定理又称为白色路径定理。

这个定理如此重要，后续很多结论都需要这个条件。证明：

(1) 访问u时，u到v的路径上全是白色结点

假设此时v不是u的子孙结点，找u到v路径上第一个不是u子孙结点的结点，设为x，其父结点设为w(w可能和u相同，也可能是u的子孙结点)，于是有f(u)>= f(w)，由于点x假设不是u的子孙结点，故d(x)>f(u)，但注意点x不可能在f(w)时刻还没有被发现，因为w=>x有一条路径，于是有d(x) < f(w)，即d(x) > f(u) >=f(w) >d(x)，矛盾，故假设不成立，即在u到v的路径上全是u的子孙结点。

(2) DFS过程后，v为u的子孙结点，根据括号匹配定理，u到v的路径上的任意结点x，都有d(u) < d(x) < f(x) < f(u)，故当发现结点u时结点x必定为白色结点。

 

定义：DFS边的分类

tree：      DFS树的边

back:      DFS树中从某结点到其祖先结点的边

forward:          DFS树中从某结点到其子孙结点的边

cross:      其他结点，可以从一棵DFS树到另一棵DFS树的边，也可以同一个DFS树内没有没有祖先关系的边

刚开始觉得边的分类极其无聊，后续在做题过程才发现有实际意义。

 

定理3，DFS无向图，只有tree、back边

证明，任意边u<=>v，不失一般性，假设d(u)< d(v)，根据白色路径定理v为u的子孙结点，于是不可能为cross边。如果第一次访问边是从u发起时，则v必定为白色，于是边为tree边；如果第一次访问边是从v发起时，则为back边

 

22.3-7 举出一个反例。有向图，当u到v有一条路径，而且d(u)< d(v)，则v为u的子孙结点。

u <==> x ==>v

如上，从x开始DFS，先选择u，再选择v，则有d(u) <d(v)，但是v不是u的子孙结点