转 PKU 3687

转自： http://imlazy.ycool.com/post.2144071.html  个人觉得分析还可以！ 

PKU 3687 在基本的拓扑排序的基础上又增加了一个要求：编号最小的节点要尽量排在前面；在满足上一个条件的基础上，编号第二小的节点要尽量排在前面；在满足前两个条件的基础上，编号第三小的节点要尽量排在前面……依此类推。（注意，这和字典序是两回事，不可以混淆。）

    如图 1 所示，满足要求的拓扑序应该是：6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。

    

                                                        

 

                                                         图 1 一个拓扑排序的例子

一般来说，在一个有向无环图中，用 BFS 进行拓扑排序是比较常见的做法，如算法 1 所示。但是它不一定能得到本题要求的拓扑序。

1. 把所有入度为 0 的节点放进队列 Q 2. WHILE： Q 不是空队列 3.     从 Q 中取出队列首元素 a，把 a 添加到答案的尾部。 4.     FOR：所有从 a 出发的边 a → b 5.         把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进队列 Q。

算法 1 用 BFS 进行拓扑排序

    为了解决本问题，下面让我来探究一下拓扑序的一些性质。以图 1 为例，节点 0 毫无疑问排在最后。除了节点 0 以外，有三条互相平行的路径：6 → 4 → 1、 3 → 9 → 2 和 5 → 7 → 8。一条路径上的各个节点的先后关系都是不能改变的，比如路径 6 → 4 → 1 上的三个节点在拓扑序中，一定是 6 在最前，1 在最后。但是，互相平行的各条路径，在总的拓扑序中任意交错都是合法的。比如，以下都是图 1 的合法拓扑序：

    6 4 1 3 9 2 5 7 8 0、 3 6 9 4 5 1 7 8 2 0、 5 6 4 7 3 8 1 9 2 0、 3 5 6 4 1 7 9 2 8 0、 6 5 7 8 4 3 9 2 1 0。

    怎么才能找出题目要求的拓扑序呢？在这里，我想用字典序最先的拓扑序来引出这个算法。算法 2 可以求出字典序最先的拓扑序。

1. 把所有入度为 0 的节点放进优先队列 PQ 2. WHILE： PQ 不是空队列 3. 从 PQ 中取出编号最小的元素 a，把 a 添加到答案的尾部。 4. FOR：所有从 a 出发的边 a → b 5. 把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进优先队列 PQ。

算法 2 求出字典序最先的拓扑序

    可见，算法 2 和算法 1 基本一样，只是把队列改成了优先队列。用它求出的图 1 的字典序最先的拓扑序为：3 5 6 4 1 7 8 9 2 0。但是这显然不是本题要求的答案，因为节点 1 的位置还不够靠前。

    算法 2 可以算是一个贪心算法，每一步都找编号最小的节点。但是对于图 1 中的三条路径，头的编号比较小的，不一定要先出队列。正确的步骤应该如下：

1. 节点 0 的位置是铁定在最后的，不用考虑。只考虑剩下的三条路径。
2. 先找编号最小的，节点 1。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1，这样， 节点 1 就尽量靠前了。
3. 再找剩下的节点中编号最小的，节点 2。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1 3 9 2 ，这样，节点 2 就尽量靠前了。
4. 只剩下一条路径了，只能依次把其中的节点拿出来。最后答案就是 6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。

    显然，算法 2 的贪心策略对于这个问题是不可行的。不能着眼于每条路径的头，而是要找编号最小的节点在哪条路径上，优先把这条路径拿出来。但问题在于，在 BFS 的过程中，我们只能看到每条路径的头，看不到后面的节点，这该怎么办呢？

    让我们换个角度想一想，节点 3 和 6，应该是 6 先出队列，因为节点 1 在 6 的后面。这和节点 3 和 6 的编号大小没有任何关系。但是，再看另外两条路径的尾部，节点 2 和 8，可以肯定地说，2 一定先出队列，因为它们后面都没有别的节点了，这个时候完全以这两个节点本身的编号大小决定顺序。归纳起来就是说，对于若干条平行的路径，小的头部不一定排在前面，但是大的尾部一定排在后面。于是，就有了算法 3。

1. 把所有出度为 0 的节点放进优先队列 PQ 2. WHILE： PQ 不是空队列 3. 从 PQ 中取出编号最大的元素 a，把 a 添加到答案的头部。 4.     FOR：所有指向 a 的边 b → a 5.     把 b 的出度减 1。如果 b 的出度变为 0，则把 b 放进优先队列 PQ。

算法 3 求出本题目要求的拓扑序