[HEOI2013] SAO

Description

给定一幅有向图，若忽略边的方向，其形态为一棵树，问其拓扑序的方案数。

N≤105,M=N−1

Analysis

我们DP的思路是，对于一个限制 (u,v) ，要么是 u 在 v 前，要么是 u 在 v 后，在状态里面我们设 u 所在的位置为 j ，则我们要限制 v 在 j 前或后。

设 fi,j 为结点 i 在其子树的序列中排第 j ，考虑某个儿子 ch （树上的），合并 ch 至 i 所在序列，使得生成一个新序列，转移的思路是枚举 ch 所在序列，看其有多少插在 j 前。

若 ch 要在 i 前，具体地，因为 j 往后变成了 j′ ，所以有 j′−j 的位置提供给了 ch 所在的序列，而要限制 ch 在 i 前， ch 在其序列的位置必须在 j′−j 前，当然 sum 包括了 |ch| 。
f′i,j′=∑fi,j×(∑j′−jk=1fch,k)×(j′−1j′−j)×(sum−j′|ch|−(j′−j)) 。

若 ch 在 i 后，唯一不同的是 ch 的位置要在 j′−j+1 后。
f′i,j′=∑fi,j×(∑|ch|k=j′−j+1fch,k)×(j′−1j′−j)×(sum−j′|ch|−(j′−j)) 。

时间复杂度： O(N3) 。因为状态较稀疏，所以本算法可以通过本题。