傅立叶分析导论-第1章.傅立叶分析的起源

第1章.傅立叶分析的起源

1 振动弦

问题
y′′+c2y=0 的一般解是 y(t)=acosct+bsinct ，为什么，练习6如何解
问题
为什么变量可以分离 u(x,t)=ϕ(x)ψ(t)
问题
为什么 ∂2u/∂t2=∂2u/∂x2 的解都是这种形式： u(x,t)=F(x+t)+G(x−t)

练习

1
(a)复平面上点到原点距离
(b)x!=0或者y!=0得出 |z|≠0 ，所以x=0并且y=0
(c)带入计算即可
(d)前面等号代入计算，后面不等号三角形两边和大于第3边
(e)带入计算
2
(a)x轴对称
(b)带入计算
(c) z=cosα+isinα 则 z¯=cosα−isinα
3
(a)假设有2个极限 w1w2 ，则 w1−w2=w1−wn−(w2−wn) n趋近无穷大则等号右边趋于0，所以 w1=w2
(b)数学分析原理定理3.11
(c)由于 an 部分和收敛，所以，对于任意 ϵ ，存在N，当n>m>N， ∑nmai<ϵ ，由于 |zi|<ai ，而且 |zi+zj|<|zi|+|zj| ，所以 zn 部分和满足高斯收敛条件，所以收敛
4
(a)?
(b) ez1ez2 表示成级数以后， zi1zj2 项的系数为 1i!1j! 。 ez1+z2 表示成级数以后， zi1zj2 项的系数为 1(i+j)!(i+j)!i!j! ，两边相等
(c)