读懂algebraic distances on graphs

参考： http://wenku.baidu.com/view/6b1b0527a5e9856a56126021.html

• 拉普拉斯矩阵和Normalized 拉普拉斯矩阵
  1.1 Laplacian matrix的定义
  拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix)），也称为基尔霍夫矩阵, 是表示图的一种矩阵。给定一个有n个顶点的图，其拉普拉斯矩阵被定义为:
  
  其中D为图的度矩阵，W为图的邻接矩阵。
  举个例子。给定一个简单的图，如下：
  
  把此“图”转换为邻接矩阵的形式，记为W：
  
  把W的每一列元素加起来得到N个数，然后把它们放在对角线上（其它地方都是零），组成一个NXN的对角矩阵，记为度矩阵D，如下图所示：
  
  根据拉普拉斯矩阵的定义L=D-W，可得拉普拉斯矩阵L 为：
  
  2.2 拉普拉斯矩阵的性质
  介绍 拉普拉斯矩阵的性质之前，首先定义两个概念，如下：
  ①对于邻接矩阵W，定义图中A子图与B子图之间所有边的权值之和如下：
  
  其中，wij定义为节点i到节点j的权值，如果两个节点不是相连的，权值为零。
  ②与某结点邻接的所有边的权值和定义为该顶点的度d，多个d 形成一个度矩阵D （对角阵）
  

  拉普拉斯矩阵L 具有如下性质：

• L是对称半正定矩阵；

• L1=01，即L 的最小特征值是0，相应的特征向量是1 。证明L * 1 = (D - W ) * 1 = 0 = 0 * 1。（此外，别忘了，之前特征值和特征向量的定义：若数字和非零向量满足，则为的一个特征向量，是其对应的特征值）。
• L有n个非负实特征值
• 且对于任何一个属于实向量，有以下式子成立
  
  其中, L=D-W，，。
  下面，来证明下上述结论，如下：
  
  拉普拉斯矩阵的其余性质为：
  

参考http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/40738211
1.2 Normalized Laplacian
定义：

特性：


参考 algebraic distances on graphs
2. 超图的概念
2.1 定义


2.2 超图的表示



参考： http://wenku.baidu.com/view/6b1b0527a5e9856a56126021.html
3. 图的分割
http://wenku.baidu.com/view/6b1b0527a5e9856a56126021.html
4. 超图的分割：
5. JOR 参考algebraic distances on graphs继续进行加强
6. 背景：解线性方程组 http://wenku.baidu.com/view/12f8bb7df111f18583d05a8e.html