51Nod－1013－3的幂的和

求：3^0 + 3^1 +…+ 3^(N) mod 1000000007
Input
输入一个数N(0 <= N <= 10^9)
Output
输出：计算结果
Input示例
3
Output示例
40

这道题很明显需要用到快速求幂，但是简单的快速求幂无法满足这道题的要求，如何求和是一个很重要的问题，求和有一个简单的方法，也有一个复杂的，先说复杂的，虽然复杂却容易理解。

#include <stdio.h>
#define _MOD 1000000007
typedef long long ll;

ll c;

//快速求幂
ll power(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = (ans * a) % _MOD;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = (a * a) % _MOD;
    }
    return ans;
}


ll sum(ll a, ll k)
{
    if (k == 1)
    {
        return a;
    }
    c = sum(a, k >> 1); //前k／2个次幂的和
    //ans等于前k/2个次幂的和加上接着的k/2个次幂的和（前k/2个次幂的和乘以第k/2个数的次幂）
    ll ans = (c + c * power(a, (k >> 1))) % _MOD;
    //加上最后一个奇数次方值
    if (k & 1)
    {
        ans = (ans + power(a, k)) % _MOD;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld", &n);
    printf("%lld\n", ((sum(3, n) % _MOD)) + 1);
    return 0;
}

这里的求和函数有着快速求幂的思想，结合了递归来实现了幂的求得，有点意思的题。

另外还有一个很简单很简单的方法，只用一行就可以替代去求和的过程，那就是用到逆元，然而像我这样的数学早已九九归一的人，已经不知道怎么去理解这行代码中蕴含的数学理论，只是知道，把它当作公式一样去记住就好了，让我去理解推一下这个公式，已经不是我现在一时半会儿能做到的，数学家们通过几十年的研究才研究出来的东西，我这数学忘完了的人就无力去推算了，证明公式的正确性的事已经不是我的事情了，所以这里只是看看，记住公式，以后争取用到就好了。

#include<stdio.h>
#define mod 1000000007
typedef long long ll;

ll mod_pow(ll x,ll n)
{
    ll res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1)
            res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    ll n, ans;
    scanf("%lld", &n);
    n++;
    ans = (mod_pow(3, n) - 1) * 500000004 % mod;    //求2的逆元即可.因为2 * ? = 1 (mod 1000000007) ? = 500000004
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

总结下来就是先求3的n+1次幂，减去一后，乘以2与mod的逆元，最后再取一下模即可。感觉十分不可思议，根本想不通这个解法的内在原理，但是只知道其具有可行性，所以，记住这个方法，记住这个公式，就已经不错了。