【BZOJ 1025】 [SCOI2009]游戏

1025: [SCOI2009]游戏

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Description

windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。 如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

Input

包含一个整数，N。

Output

包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】
3
【输入样例二】
10

Sample Output

【输出样例一】
3
【输出样例二】
16

HINT

【数据规模和约定】

100%的数据，满足 1 <= N <= 1000 。

根据群论的知识，先找到一个序列及其对应序列有几个“循环节”，那么他的排数就是各个循环节长度的lcm+1。

这道题就转化成了把整数拆分，求拆分成的数的lcm，统计有多少种不同的lcm。

直接暴力拆分显然是不行的，我们用dp来做。

首先求出素数表p[]。

w[i][j]表示i这个数拆成的数中最大的质因数是p[j]。

w[i][j]=sigma(w[i-p[j]^k][j-1])+w[i][j-1]   (i-p[j]^k>=0)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
int n,ok[1005],p[1005],cnt=0;
LL w[1005][1005];
void Getprime()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
		ok[i]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
		if (ok[i])
		{
			p[++cnt]=i;
			for (int j=i*2;j<=n;j+=i)
				ok[j]=0;
		}
}
int main()
{
        scanf("%d",&n);
	Getprime();
	for (int i=0;i<=n;i++)
		w[i][0]=1,w[0][i]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			w[i][j]=w[i][j-1];
			int x=p[j];
			while (i-x>=0)
			{
				w[i][j]+=w[i-x][j-1];
				x*=p[j];
			}
		}
	cout<<w[n][cnt]<<endl;
	return 0;
}

感悟：

1.dp方程没有想出来，整数拆分这一类的问题其实都差不多，而这道题和质因数有关，所以f[i][j]中j表示最大的质因数