两次BFS求树的直径(算法导论22.2-7)

以任意点w开始，先做一次BFS，找到最远的点v，然后再以此点v进行一次BFS，找到最远的点为u，u到v就是树的直径。

 

此问题的关键不是在编程，而是要证明，网上也找了很多资料，没有看到证明，以下是个人的证明方法。

 

首先要知道树是没有环路的连通图，任意两点都有一条通路，而且也只有一条通路。同时假设树的一条直径为u到v的路径，记为d(u,v)。

分情况讨论：

(1) 假设起始点w正好在直径上，则此时以w为起始点BFS，最远的点必定为直径的一个端点，这是显然的，否则可以找到一个比d(u,v)更长的通路，矛盾；

(2) 起始点w不在直径上，以w作一次BFS，设最远点为x，假设w到x的路径与直径相交，则x必定为直径的某个端点，这个证明方法和(1)类似

(3) 起始点w不在直径上，以w作一次BFS，设最远点为x，假设w到x的路径d(w,x)与直径d(u,v)不相交，以下证明这种情况(见下图)。

d(w,v)必定和d(u,v)相交于不是v的点，因为v是直径的端点，故v的度必须为1，否则可以找到更长的直径。如此从w到v必然经过v的前一个结点，即和d(u,v)相交于不是u的点，假设交于点y。

设d(w,v)与d(w,x)共同点为a，在d(w,x)中a的下一个结点为z，由于d(w,x)为以w为端点的最长路径，即d(w,x)>d(w,v)，则d(z,x)>=d(y,v)。

目前找到了u到x的一条通路，这也是唯一一条通路d(u,x)

d(u,x)=d(y,u)+2+d(z,x)>=d(y,u)+d(y,v)+2>=d(u,v)+2，即d(u,x)比直径d(u,v)还长，与原假设矛盾，故情况(3)也得证

 

综上所述，两次BFS必为树的直径，但是图的直径不能通过这种方法获得。