三维旋转基础

一 旋转矩阵


旋转矩阵(右手坐标系)

绕X轴旋转

三维旋转基础_第1张图片


绕Y轴旋转

三维旋转基础_第2张图片


绕Z轴旋转

三维旋转基础_第3张图片


绕某个向量v绕XYZ旋转x,y,z进行旋转。v’ = Rz*Ry*Rx*v;

Matlab代码如下

syms sinx cosx siny cosy sinz cosz;

Rx = [1 0 0;0 cosx -sinx;0 sinx cosx];

Ry = [cosy 0 siny;0 1 0;-siny 0 cosy];

Rz = [cosz -sinz 0;sinz cosz 0;0 0 1];


R = Rz*Ry*Rx

输出:

R =

[ cosy*cosz,   cosz*sinx*siny - cosx*sinz,   sinx*sinz + cosx*cosz*siny]

[ cosy*sinz,    cosx*cosz + sinx*siny*sinz,  cosx*siny*sinz - cosz*sinx]

[     -siny,                  cosy*sinx,                  cosx*cosy   ]

二 旋转矩阵含义


以绕Y轴进行旋转为例,绕Y轴旋转对应的矩阵是


[  cosy,  0, siny]

Ry=                  [     0,    1,    0  ]

[ -siny,  0, cosy]



从-Y轴方向看绕Y的旋转:

三维旋转基础_第4张图片

经过旋转后,Z轴的方向向量变成了(sin(ry),0,cos(ry)),X轴的方向向量变成了(cos(ry),0,-sin(ry)),而Y的方向向量仍然是(0,1,0)。可以发现,旋转后的新的三个坐标轴向量即为对应旋转矩阵的三个列向量


使用旋转矩阵对一个向量进行旋转

[  cosy,  0, siny]  [x]      [x’]

Ry*v=              [     0,    1,    0  ] *[y]   = [y’]

[ -siny,  0, cosy]  [z]      [z’]

旋转的实质就是相当于在新的坐标系下,保持该点在新的坐标系下的坐标仍然为(x,y,z),在新的坐标系的坐标为(x,y,z),那么在原先的坐标系下的点的坐标即为Ry*v。


三 左手坐标系向右手坐标系转换

三维旋转基础_第5张图片

可以看出,从左手坐标系到右手坐标系转换,只需将z值取反即可。

以Qr为右手坐标系的一点,Ql为对应的左手坐标系的点,转换公式如下

三维旋转基础_第6张图片

转换矩阵Sz如下

三维旋转基础_第7张图片

现在进行旋转矩阵转换的推导

三维旋转基础_第8张图片

假如ML为如下矩阵,

          [ a00, a01, a02]

ML = [ a10, a11, a12]

         [ a20, a21, a22]

则对应的MR为

          [  a00,  a01,-a02]

MR = [  a10,  a11,-a12]

          [ -a20,-a21,  a22]

即红色标出的成员被取反。


四 四元数到旋转角的转化


四元数q=[w x y z],w用来表示旋转量,(x,y,z)则是旋转轴。

四元数相乘:

q1 * q2 =

(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +

(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +

(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +

(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k


将四元数应用于一个向量使之旋转,将这个向量v也用四元数表示,v=[0 vx vy vz],旋转的计算式为:

同时也可以将四元数的旋转用矩阵形式表示,对应的旋转矩阵



同时,使用一组欧拉角,也能计算出对应的旋转矩阵

R = Rz*Ry*Rx=

[ cosy*cosz,   cosz*sinx*siny - cosx*sinz,   sinx*sinz + cosx*cosz*siny]

[ cosy*sinz,    cosx*cosz + sinx*siny*sinz,  cosx*siny*sinz - cosz*sinx]

[     -siny,                  cosy*sinx, cosx*cosy  ]



分别为绕X、Y、Z轴旋转的角度,也就是对应上式R中的x、y、z。得出如下的转换公式:

rx= atan2(Mq[2][1],Mq[2][2]),

ry  = arcsin(Mq[2][0]);

rz= atan2(Mq[1][0],Mq[0][0]


也就是如下的计算式


五 三角函数

1 asin函数

它的结果范围是-PI/2到PI/2,使用matlab进行绘图可得

x=[-1:0.05:1];

y = asin(x);

plot(x,y);


三维旋转基础_第9张图片

2 acos函数

它的取值范围是0到PI

x=[-1:0.05:1];

y = acos(x);

plot(x,y);

三维旋转基础_第10张图片

3 atan2函数

它的取值范围是-PI/2到PI/2

y=[-10000:1:10000];

x = ones(1,length(y));

rad = atan2(y,x);

plot(y,rad);

结果图如下:

三维旋转基础_第11张图片







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