简单数论

参考：《挑战程序设计竞赛》

1.辗转相除法 --- gcd和lcm

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
//===================//
//int 类型函数gcd:
//计算最大公约数。
//方法：辗转相除。 
//===================// 
int gcd(int a,int b) //gcd复杂度<O(log max(a,b))
{
    int t;
    if(a<b)
    {
        t=a;
        a=b;
        b=t;
    }
    
    if(b==0)return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
//===================//
//int 类型函数lcm:
//计算最小公倍数。
//方法：a*b/gcd(a,b) 
//===================// 
int lcm(int a,int b,int gcd)
{
    return a*b/gcd;
}

int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        int g=gcd(a,b);
        int l=lcm(a,b,g);
        
        printf("%d\n",l);
    }
    return 0;
}

实现依据：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

关于求最小公倍数，更为简单的方法:求n个数的最小公倍数

2.素性测试

代码:

#include<cstdio> 
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int prime(int a)
{
    int i;
    for(i=2 ; i*i<=a ;i++)//遍历2到根号a
    {
        if(a%i==0)return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int a;
    while(scanf("%d",&a)!=EOF)
    {
        if(prime(a)==1)printf("%d is a prime\n",a);
        else printf("%d is not a prime\n",a);
    }
    return 0;
}

依据:
如果d是n的约数，那么n/d也是n的约数。n=d*n/d可得min(d,n/d)<=根号n

3.埃氏筛法

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#define MAX_N 100000000 
using namespace std;
//=================//
//埃氏筛法:  
//枚举n以内素数 
//=================//
bool is_prime[MAX_N+1];//is_prime[i]==1说明是素数 
int prime[MAX_N]; 
int sieve(int n)
{
    int p=0;
    int i,j;
    
    for(i=0;i<=n;i++)
    is_prime[i]=true; //初始化 
    
    is_prime[0]=is_prime[1]=false; //0 1不是素数 
    
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[p]=i; //存储素数 
            p++;
            
            for(j=2*i ; j<=n ; j+=i) //j从2i开始 如果是i的倍数 置false 
            {
                is_prime[j]=false; //非素数 
            }
        }
    }
    return p;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("total:%d\n",sieve(n));
    }
    return 0;
}

原理：保留0到n内所有质数，同时除去所以合数。