hdu 递推 2050 1290 2563 2064 2077 规律哥

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hdu2050 折线分平面:

1.当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。

故：f(n)=f(n-1)+n

=f(n-2)+(n-1)+n

……

=f(1)+1+2+……+n

=n(n+1)/2+1

2.根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

=f(n-1)+4(n-1)+1

=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

……

=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)

=2n^2-n+1

代码：

#include<stdio.h>
int f[10009];
int main()
{
int t,n,i;
f[1]=2;
for(i=2;i<=10000;i++)
f[i]=f[i-1]+4*(i-1)+1;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",f[n]);
}
return 0;
}

hdu1290 平面分割空间问题:

由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。（g（n）为（1）中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g（n-1）个空间。

故：f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1

=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

……

=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n)/2+n+1

=(n^3+5n)/6+1

hdu 2563:

设a[n]是向上走n步的方法数，b[n]是向左或向右走的方法数，则a[n]=a[n-1]+b[n-1],

b[n]=2*a[n-1]+b[n-1]。因为之前的向上可以走两个方向，而之前的向左或者向右只能继续按照原来的方向走，因为走过的路会消失。

因为f[n]=a[n]+b[n]，

f[n]=3*a[n-1]+2*b[n-2]=2*f[n-1]+a[n-1]=2*f[n-1]+f[n-2]。

Hdu 2064：汉诺塔III

题中改变了原有的汉诺塔规则，而是 每次必须经过中间的柱子，尽管有些许变化但是推到过程是一样的（现设有A，B，C三个柱子，以及标号为1-N的盘子），既然不能将编号为N的盘子移动到C上，那么就必须先移动N到B上，这样的话就先有N-1个盘子在C上这个状态，然后在移动N到C上之前又要把N-1个盘子移动到A上，要达到最终目的的话，就要再把N-1个盘子移动到C上。

上述过程就得到一个递推式 F[N]= 3* F[N-1]+ 2, 得到F[N]=3^N-1。

代码：

#include<stdio.h>

int main()
{
int i,n;
__int64 f[36];
f[1]=2;
for(i=2;i<=35;i++)
f[i]=3*f[i-1]+2;
while(scanf("%d",&n)!=-1)
{
printf("%I64d\n",f[n]);
}
return 0;
}

Hdu 2077：汉诺塔IV

2064中设n个盘子需要g(n)步，则g(n)=3*g(n-1)+2，很好想，从而得通项公式g(n)=3^n-1;2077中加了一个条件，难想一些，为了便于说明，我们把三根柱子分别记为柱A、柱B、柱C，第n个盘子记为盘n，那么最优情况肯定是先把上面n-2个盘子移到柱C上，再把盘n-1和盘n依次移到柱B上，然后把柱C上的n-2个盘子移回柱A，接着把盘n-1和盘n移到柱C上，最后再把n-2个盘子移到柱C即可，这个过程中，把n-2个盘子从柱A移到柱C(或反向移动)的过程与2064题是完全一样的。故移动n个盘子的步数f(n)=3*g(n-2)+4，代入上而的通项公式得

f(n)=3^(n-1)+1=3*f[n-1]-2。

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int t,n,i;
int f[22];
f[1]=2;
for(i=2;i<=20;i++)
f[i]=3*f[i-1]-2;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",f[n]);
}
return 0;
}

hdu 1995 汉诺塔V

从下往上，依次翻2倍：

#include<stdio.h>

__int64 f[65];

int main()

{

int t,n,k,i;

f[1]=1;

for(i=2;i<=60;i++)

f[i]=f[i-1]*2;

scanf("%d",&t);

while(t--)

{

scanf("%d%d",&n,&k);

k=n-k+1;

printf("%I64d\n",f[k]);

}

return 0;

}